Matriz inversa

[padores]

Encontrar a matriz inversa de \(\begin{bmatrix} 3&1 &4 \\ 1& 4& 3 \\ 4& 3 & 1 \end{bmatrix}\) usando operações elementares sobre linhas. Alguém pode ajudar na resolução?

[Sobolev]

A ideia é aumentar o sistema com a matriz identidade e realizar operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada até obter no lugar da matriz A a matriz identidade, isto é

\([A | I ] \sim \cdots \sim [I | A^{-1}]\)

Neste caso concreto,

\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 &0 &1 &0\\ 4 & 3 & 1 & 0&0&1\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\0 & \frac{11}{3} & \frac{5}{3} &-\frac{1}{3} &1 &0 \\ 0 & -\frac 13 & -\frac{13}{3} & -\frac 43&0&1\end{array}\right) \sim \cdots \sim \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 &0 &\frac{5}{56} & -\frac{11}{56} & \frac{13}{56} \\
0 & 1 & 0 &-\frac{11}{56} & \frac{13}{56} & \frac{5}{56} \\
0 & 0 & 1 &\frac{13}{56} & \frac{5}{56} & -\frac{11}{56} \\
\end{array}
\right)\)