Sistema linear na produção de uma fábrica

[PatriciaS]

tenho duvidas na resolução do exercício: uma empresa de industria alimentar produz diariamente farinha de trigo, farinha de centeio e farinha de milho. a produção total da empresa é de k toneladas por dia. sabendo que a produção diária conjunta de farinha de trigo e de centeio é o triplo da produção de farinha de milho, e que a produção diária conjunta de farinha de trigo e de milho é o dobro da produção de farinha de centeio, utilize a regra de Cramer para determinar a fracção de k que corresponde a produção diaria de farinha de trigo.
penso que as equaçoes são as seguintes:

t+m+c=k
t+c=3m
t+m=2c

mas não sei que fazer a seguir. obrigada

[João P. Ferreira]

Olá Patrícia

As equações estão corretas e podes colocá-las nesta forma

\(\left\{\begin{matrix} t+c+m=k\\ t+c-3m=0\\ t-2c+m=0 \end{matrix}\right.\)

Agora basta colocar num sistema linear tipo \(AX=B\), ou seja

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -3\\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} t\\ c\\ m \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\)

Agora, pela regra de Cramer, se queres achar a variável \(t\) (trigo) tens que achar os seguintes determinantes

\(|A|=\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -3\\ 1 & -2 & 1 \end{matrix}\right|=-12\)

e o determinante associado à variável \(t\) que é substituir a primeira coluna de \(A\) (primeira coluna pois \(t\) é a primeira variável) pelo vetor coluna \(B\)

Assim

\(|A_t|=\left|\begin{matrix} k & 1 & 1\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & -2 & 1 \end{matrix}\right|=-5k\)

Então sabemos pela regra de Cramer que

\(t=\frac{|A_t|}{|A|}=\frac{5k}{12}\)

então a produção de trigo será \(\frac{5}{12}\) da produção total

Cumprimentos

[Wolfman]

Podias fazer sem usar uma matriz;

t+m+c-k= 0
t+c-3m = 0
t+m-2c = 0

Terias de encontrar um valor para poder multiplicar por uma equação do sistema para para ir tirando as incognitas; a equação fica sempre equivalente!

por exemplo multiplicavas a primeira por -1

-t -m -c -k =0 e somavas á segunda
t + c - 3m =0

daqui ficavas com 2m - k ou 2m=k

agora pegavas na segunda e seguias o mesmo procedimento

-t-c - 3m = 0
t + m + 2c = 0

daqui ficavas com 2m=1c

Não sei se esta dá mas acho que dá para resolver assim.... há por aí alguem que saiba?

[PatriciaS]

obrigada, neste problema era necessário utilizar a regra de Cramer, por isso a necessidade de utilizar a matriz

Podias fazer sem usar uma matriz;

t+m+c-k= 0
t+c-3m = 0
t+m-2c = 0

Terias de encontrar um valor para poder multiplicar por uma equação do sistema para para ir tirando as incognitas; a equação fica sempre equivalente!

por exemplo multiplicavas a primeira por -1

-t -m -c -k =0 e somavas á segunda
t + c - 3m =0

daqui ficavas com 2m - k ou 2m=k

agora pegavas na segunda e seguias o mesmo procedimento

-t-c - 3m = 0
t + m + 2c = 0

daqui ficavas com 2m=1c

Não sei se esta dá mas acho que dá para resolver assim.... há por aí alguem que saiba?