Demonstração matrizes invertíveis

[PatriciaS]

Como fazer a demonstração da seguite propriedade:

\((\lambda A)^{-1}= \frac{1}{\lambda }A^{-1}\)

[santhiago]

Basta mostra que \(\left(\frac{1}{\lambda}A^{-1} \right) \cdot (\lambda A) = I\) e \((\lambda A) \cdot \left(\frac{1}{\lambda}A^{-1} \right) = I\) .

[João P. Ferreira]

Olá Patrícia

Podes, no seguimento do que referiu o santhiago, reparar que se

\((\lambda A)^{-1}= \frac{1}{\lambda }A^{-1}\)

podes multiplicar dos dois lados (do lado esquerdo) por \((\lambda A)\)

então:

\((\lambda A)(\lambda A)^{-1}=(\lambda A) \frac{1}{\lambda }A^{-1}\)

\((\lambda A)(\lambda A)^{-1}=\lambda A \frac{1}{\lambda }A^{-1}\)

fazendo \(\lambda A=B\) e considerando que \(\lambda\) é um escalar, ou seja \(\lambda A=A \lambda\)

então

\(B.B^{-1}= A \lambda \frac{1}{\lambda } A^{-1}\)

ficando finalmente

\(B.B^{-1}=A.A^{-1}\)

\(I=I\)

c.q.d.

Cumprimentos