Dúvida na Matriz e determinante

[Caconde]

1. Se A e B são matrizes quadradas tais que AB=BA, então, pode se afirmar que

A) A²=AB=B²

B) nenhuma das demais alternativas

C) (AB)²=A²+B²

D) (A+B)²=A²+2AB+B²

E) (A-B)=A²-B²

F) (AB)³=AB³



2. Se A e B são duas matrizes nxn, então pode se afirmar que

A) det(A+ B )=det(A)+det( B)

B)nenhuma das demais alternativas

C) det(A+B)=0

D) det(A+B)=det(A)det(B)

E) det(A+B)=det(A)-det(B)

F) det(A+B)=det(A)+/-det(B)


3. Se A e B são matrizes quadradas tais que det(A)=det(B), então

A) det(A)=0

A e B são inversíveis

C) apenas A é inversível

D) apenas B é inversível

E) A e B são não inversíveis

F) nenhuma das demais alternativas

[João Torgal]

1.
\((A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+AB+BA+B^{2}\)

Como AB = BA, temos a fórmula da resposta D, que é portanto a opção certa.

2. Consideremos

A=\(\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)

B=\(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)

Temos det(A) = 6, det (B) = 2 e det (A+B) = 15, que não é nulo, nem igual à soma, à diferença, ao produto ou à divisão dos valores anteriores.

Assim, é a resposta B

3. Se det(A) = det(B), a única coisa que podemos concluir é que uma é invertível se e só se a outra também o for, correspondendo a todas as situações em que o determinante é diferente de zero. Logo, como não sabemos nada sobre esse valor, então é a resposta F.