Determinante de matriz advinda de multiplicação

[raphawel]

Seja A uma matriz 3 X 2 e B uma matriz 2 X 3. A multiplicação A.B resulta numa matriz 3 X 3 e a multiplicação B.A resulta numa matriz 2 X 2. Por que o determinante da matriz A.B sempre dará 0, enquanto o da B.A em geral não dá zero ?

[Sobolev]

Uma das propriedades da característica de uma matriz (rank) é que

\(rank( AB) \leq min\{rank(A) \, rank(B)\}\)

Ora, como a característica é o número máximo de linhas ou colunas linearmente independentes, no caso das dimensões que refere, temos que \(rank(A) \leq 2, \qquad rank(B) \leq 2\), pelo que necessariamente \(rank(AB) \leq 2\).

Agora, uma matriz é invertível (ou tem determinante não nulo) ase e só se a sua característica for máxima, o que quer dizer que para uma matriz 3x3 ter determinante não nulo a sua característica deve ser 3. Como neste caso é menor ou igual a dois o determinante é necessariamente nulo.

Já no caso BA... pode usar o mesmo argumento para desta vez mostrar que o determinante tem hipótese de ser não nulo.

[raphawel]

Sobolev, agradeço sua resposta.
Pela sua descrição, isso valerá para quaisquer matrizes advindas da multiplicação de uma matriz m X n por outra n X m, desde que m seja maior que n, então ?
Desde já, grato pela colaboração.

[Sobolev]

correcto, é isso mesmo.