Sistema Incompatível, Compatível Indeterminado e Compatível determinado

[Marcella]

Considere o sistema de equações lineares cuja matriz dos coeficientes A e cuja matriz dos termos independentes B, são dadas por


\(A = \begin{bmatrix} 1 & -2& 0 & 1\\ 2 & -2& 6& 2\\ -2 & 4& b + 2 & 1\\ -1 & 2& 0 & a-1\\ 0 & -2& -6 &0 \end{bmatrix}\)

\(B = \begin{bmatrix} b\\ 2b-2\\ 2-2b\\ 2\\ 2 \end{bmatrix}\)

Determine os valores de a e b para os quais o sistema acima é Incompatível, Compatível Indeterminado e Compatível Determinado.

[João P. Ferreira]

\(A = \begin{bmatrix} 1 & -2& 0 & 1 &|& b \\ 2 & -2& 6& 2 &|& 2b-2\\ -2 & 4& b + 2 & 1 &|& 2-2b\\ -1 & 2& 0 & a-1 &|& {2}\\ 0 & -2& -6 &0 &|& {2} \end{bmatrix}\)

Olá Marcella

Pegue nessa matriz aumentada e aplique a eliminação de Gauss
http://pt.wikipedia.org/wiki/Elimina%C3 ... o_de_Gauss

depois apresente-nos aqui os resultados dessa eliminação que lhe direi como descobrir cada caso

[Marcella]

Obrigada pela ajuda,

A matriz resultante é:

\(\begin{bmatrix} 1 & -2& 0 & 1& |& b\\ 0 & 2 & 6 & 0&| & -2\\ 0 & 0 & b+2&3 &| &2 \\ 0 & 0 & 0 & a& |& 2+b\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & 0\end{bmatrix}\)

como ccontinuo?

[João P. Ferreira]

A última linha como está toda a zeros pode ser ignorada, ainda para mais porque assim ficamos com uma matriz \(A\) quadrada \(4\times 4\)

ficamos então com

\(\begin{bmatrix} 1 & -2& 0 & 1& |& b\\ 0 & 2 & 6 & 0&| & -2\\ 0 & 0 & b+2&3 &| &2 \\ 0 & 0 & 0 & a& |& 2+b\end{bmatrix}\)

considerando que os seus cálculos estão certos, pois basear-me-ei neles, repare que se \(a\neq 0\) a matriz \(A\), após condensação, não tem nem linhas nem colunas a zero, o que significa que a matriz \(A\) é invertível.

Repare que este sistema surge da equação matricial

\(A.x=B\)

se \(A\) tem inversa então, multiplicando \(A^{-1}\) dos dois lados (do lado esquerdo) ficamos com

\(A^{-1}A.x=A^{-1}B\)

\(I.x=A^{-1}B\)

\(x=A^{-1}B\)

então para \(a\neq 0\) estamos perante um s.p.d (sistema possível determinado)

quando \(a=0\) e \(b\neq -2\) a última linha fica algo do género

\(0=a\) com \(a\neq 0\) logo é impossível

deixo o último caso, sistema indeterminado, para você pensar

[Marcella]

se a = 0 e b = 2 o sistema é compativel indeterminado, correto?

[João P. Ferreira]

Não

Se a=0 e b=-2, a última linha fica a zeros, logo o sistema é possível indeterminado

[Marcella]

=/

não entendo...

[João P. Ferreira]

\(\begin{bmatrix} 1 & -2& 0 & 1& |& b\\ 0 & 2 & 6 & 0&| & -2\\ 0 & 0 & b+2&3 &| &2 \\ 0 & 0 & 0 & a& |& 2+b\end{bmatrix}\)

repare que esta matriz aumentada faz referência a um sistema de equações com 4 variáveis, por exemplo x,y,z,w

\(\{\begin{matrix} x -2y + w & =& b\\ 2y +6z &= & -2\\ (b+2)z +3w &= &2 \\ aw& =& 2+b\end{matrix}\)

se a última linha se anular porque \(a=0\) e \(b=-2\) fica com um sistema com 4 incógnitas e apenas 3 equações, logo indeterminado

[Marcella]

mas eu coloquei a = 0 e b = 2 e nao -2

[João P. Ferreira]

mas quando b=2 a b+2=4 e para que seja zero b+2=0 logo b=-2