Matriz Inversa e Comutatividade

[Claudio Paraná]

1) Seja A matriz ordem n tal que A^k = matriz identidade para algum k ∊ {N}. A tem inversa? Se tiver, qual é a inversa de A?

2) Suponha que A e B (matrizes de ordem n, invertíveis) comutam, isto é, AB = BA. Prove que então também comutam os seguintes pares de matrizes:
a) A^-1 e B
b) A e B^-1
c) A^-1 e B^-1

[flaviosouza37]

2.

I = MATRIZ IDENTIDADE
a) AB = BA
A^(-1).A.B=A^(-1)B.A
IB = A^(-1)B.A
B.A^(-1)=A^(-1)B.A.A^(-1)
BA^(-1)= A^(-1)B

b) mesmo raciocinio da a)

c) AB = BA (VOU CHAMAR A¹=A^-1 E B¹=B^-1

A¹AB=A¹BA
IB=A¹BA
BA¹=A¹BAA¹
BA¹=A¹BI
B¹BA¹=B¹A¹B
IA¹B¹=B¹A¹BB¹
A¹B¹=B¹A¹

[Sobolev]

1. Uma vez que existe k tal que \(A^k=I\) e que \(A^k = A A^{k-1} =A^{k-1} A\) podemos escrever

\(A A^{k-1} = A^{k-1} A = I\)

pelo que A é invertível e a sua inversa é \(A^{k-1}\). Este raciocínio é válido também no caso k=1, convencionando que \(A^0 = I\).