Matriz Idempotente

[Claudio Paraná]

1) Uma matriz A de ordem n diz-se idempotente se A²=A.

a)Mostre que se AB=A e BA=B então A e B são idempotentes.

b)Mostre que, se A é idempotente e B=Id-A, então B é idempotente e AB=BA=0

[Walter R]

a) \(A=AB=A(BA)=(AB)A=A.A=A^2\) e \(B=BA=B(AB)=(BA)B=B.B=B^2\)
b) \(AB=A(I-A)=A-A^2=A-A=0\) e \(BA=(I-A)A=A-A^2=A-A=0\) e \(B^2=B(I-A)=B-BA=B\)