Demonstração envolvendo normas de matrizes

[MenteMatematica]

Pessoal, estou com alguns problemas relativos a demonstração em um problema de métodos numéricos envolvendo matrizes.

Assuma que, quando resolvendo Ax = b no computator, A é representado como \(\bar{A}\), enquanto b não possuí qualquer erro em sua representação. Assuma que não existam erros das computações, isto é, a solução computada "\(\bar{x}\)" satisfaz \(\bar{A}\bar{x} = b\). (seja \(\kappa (A)\) o Condition Number de uma Matriz quadrada não-singular A, definido por \(\left \| A \right \|\left \| A^{-1} \right \|\)) (Obs: A e sua inversa são nxn, x e b são matrizes nx1)

a) mostre que se \(\left \| A^{-1} \right \|\left \| A-\bar{A} \right \|< 1\), então

\(\frac{\left \|x -\bar{x} \right \|}{\displaystyle \left \| x \right \|} = \frac{\kappa (A)}{\displaystyle 1- \left \| A^{-1}\right \| \left \| A-\bar{A}\right \|} \frac{\left \|A -\bar{A} \right \|}{\displaystyle \left \| A \right \|}\)

b) mostre que se \(\delta =\left \| A^{-1} \right \|\left \| A-\bar{A} \right \|< 1\), então, com precisão de O(δ²)

\(\frac{\left \|x -\bar{x} \right \|}{\displaystyle \left \| x \right \|} = \kappa (A)\frac{\left \|A -\bar{A} \right \|}{\displaystyle \left \| A \right \|}\)

[Sobolev]

Procure por "Propagação de erros em sistemas lineares" e encontrará as demonstrações que precisa. A ideia chave é que se uma matriz A for não singular e E for uma matriz tal que \(||E|| \leq 1/||A^{-1}||\) então a matriz A+E é não singular.