Seja Q uma matriz 4x4 tal que detQ ≠ 0 e Q³ + 2.Q² = 0

[Arlan]

Seja Q uma matriz 4x4 tal que detQ ≠ 0 e Q³ + 2.Q² = 0.Então, temos:

a) detQ = 2
b) detQ = −2
c) detQ = 16
d) detQ = −16
e) n.d.a.

Obrigado.

[Sobolev]

Deve apenas utilizar algumas propriedades dos determinantes. Se \(A,B\) forem matrizes n x n e \(a \in \mathbb{R}\) então temos

\(det{AB} = det{A} \cdot det{B}
det{ a A}= a^n det{A}\)

Então

\(Q^3 + 2Q^2 = 0 \Leftrightarrow
Q^3 = -2Q^2 \Rightarrow
det{Q^3}=det{-2 Q^2} \Leftrightarrow
det{Q}^3 = (-2)^4 det{Q}^2 \Leftrightarrow
det{Q}^2( det{Q} - 16) = 0 \Leftrightarrow
det{Q}=0 \vee det{Q}=16\)

Como é dito que o dterminante é não nulo, concluimos que deve ser 16.

[npl]

....

Então

\(det{Q}^3 = (-2)^4 det{Q}^2 \Leftrightarrow
det{Q}^2( det{Q} - 16) = 0 \Leftrightarrow\)

Não apanhei este passo.
Eu assumi(apesar de estar enferrujado com a Álgebra Linear) que a matriz ao ser quadrada e ao ter determinante não nulo, teria inversa que podia ser aplicada a ambos os membros da equação duas vezes. Mas venha antes a explicação por favor. Obrigado antecipadamente Sobolev!

[Sobolev]

Bom dia,

Repare que |Q| é um número real, pelo que a passagem que refere corresponde simplesmente a colocar todos os termos no lado esquerdo da equação e pôr \(|Q|^2\) em evidência.

Claro que o método que refere também resolve o problema... Multiplicando duas vezes pela inversa conclui que Q = -2I, cujo determinante é \((-2)^4 = 16\).