Mostrar que não é invertível

[Xipe]

Sejam A e B duas matrizes distintas n × n tais que A^2 = B^3 e (A^2)B = (B^2)A. Mostre que
A^2 + B^2 não é invertível.

Por favor, alguém me ajuda... não faço a mínima de como resolver a questão!

[Rui Carpentier]

Comece primeiro por mostrar que B não é invertível.
Como \(A^2B=B^2A \mbox{ e } A^2=B^3 \Rightarrow B^4=B^2A\) se B fosse invertível seria válida a lei do corte, logo \(B^4=B^2A \Rightarrow B^2=A \Rightarrow B^4=A^2=B^3 \Rightarrow B=I\) e portanto \(A=B^2A=A^2B=B^4=I=B\) o que contradiz a hipótese de A e B serem distintas.

Agora é só invocar um resultado que diz que um produto de matrizes é invertível se e só se todos os seus fatores forem invertíveis, uma vez que \(A^2+B^2=B^3+B^2=B^2(B+I)\).

[Xipe]

Comece primeiro por mostrar que B não é invertível.
Como \(A^2B=B^2A \mbox{ e } A^2=B^3 \Rightarrow B^4=B^2A\) se B fosse invertível seria válida a lei do corte, logo \(B^4=B^2A \Rightarrow B^2=A \Rightarrow B^4=A^2=B^3 \Rightarrow B=I\) e portanto \(A=B^2A=A^2B=B^4=I=B\) o que contradiz a hipótese de A e B serem distintas.

Agora é só invocar um resultado que diz que um produto de matrizes é invertível se e só se todos os seus fatores forem invertíveis, uma vez que \(A^2+B^2=B^3+B^2=B^2(B+I)\).

Pois é, cara... mas, eu errei o enunciado. Na verdade é A^3=B^3. Me desculpe. Mas eu tentarei fazer pensando que A e B não são invertíveis, como vc falou.

[Rui Carpentier]

Na verdade é A^3=B^3.

Nesse caso sugiro que faça a conta \((A^2+B^2)(A-B)\), tendo em conta as condições \(A^2B=B^2A\) e \(A^3=B^3\).
Depois note que uma matriz invertível não pode ser divisora de zero, ou seja, não pode existir uma matriz não-nula que multiplicada por ela dê a matriz nula.