Tipologia de resolução para sistemas (diferente do Método de Gauss)

[GrangerObliviate]

Boa tarde! Surgiu-me este exercício sobre resolução de sistemas com matrizes de coeficientes triangulares. Facilmente sei resolvê-lo pelo método de eliminação de Gauss, mas não com recurso a matrizes triangulares. Alguém me conseguiria explicar por favor...

P.S. A solução para u é (0,-1,1)

Anexos

Captura de ecrã 2015-10-9, às 16.48.46.png (38 KiB) Visualizado 2908 vezes

[FernandoMartins]

Olá GrangerObliviate

Não sei que método é este de "substituição directa". Suspeito que seja o seguinte:

Podemos escrever A = L D U ( Lower Diagonal Upper) = b

Assim, \(AX=b\Leftrightarrow X=A^{-1}b=(LDU)^{-1}b=U^{-1}D^{-1}L^{-1}b\)

Será isto?

[Sobolev]

Trata-se se, a partir de uma factorização da matriz A, resolver o sistema Ax=b através da resolução de dois sistemas triangulares. O termo "substituição directa" deve-se ao modo de resolver sistemas triangulares. Por exemplo, quando a matriz é triangular inferior, da primeira eq. retira-se o valor da primeira variável, substituindo na segunda equação o valor da primeira variável, determina-se a segunda, e assim por diante.

\(Ax = b \Leftrightarrow (LDU) x = b \Leftrightarrow L (DUx) = b\)

Designando \(y = DUx\), a resolução do sistema pode ser feita em dois passos:

1. Determinar y, solução do sistema \(Ly = b\). É um sistema triangular inferior, que pode ser resolvido por substituição directa a partir da última linha.

2. Determinar x, solução de \((DU) x = y\). Também um sistema triangular...