Matrizes quadradas - verdadeiro ou falso

[Gogo]

Verdadeiro ou Falso. Justifique

Se B = A^2 e A é muma matriz quadrada n x n simétrica, então b_ii maior ou igual a zero, para i= 1,2,3, ..., n.

[jorgeluis]

falso.
veja:
condição da matriz simétrica: A^t=A e A_ij=A_ji para \(\forall i,j\)

B = A²
B = A x A^t

Obs.: B tambem será simétrica

A\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) x A^t\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) = B\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

b₁₁ = 0
b₂₂ > 0

b_ij com i=j, implica dizer que:

\(\forall i\), b_ij = a\(_{ii}^{2}\) + a_ij x a_ji

logo, a\(_{ii}^{2}\) >= 0 para \(\forall\)a

[jorgeluis]

CORRIGINDO...
VERDADEIRO.
veja:
condição da matriz simétrica: A^t=A e A_ij=A_ji para \(\forall i,j\)

B = A²
B = A x A^t

Obs.: B tambem será simétrica

A\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) x A^t\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) = B\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

b₁₁ = 0
b₂₂ > 0

b_ij com i=j, implica dizer que:

\(\forall i\), b_ij = a\(_{ii}^{2}\) + a_ij x a_ji

logo, a\(_{ii}^{2}\) >= 0 para \(\forall\)a[/quote]

[Sobolev]

Decorre directamente da definição de um elemento da matriz produto:

\(B_{ii} = (AA)_{ii}= \sum_{j=1}^n A_{ij} A_{ji} = \sum_{j=1}^n A_{ij}^2 \ge 0\)