Sistemas lineares para solucoes variadas

[alinepele]

Seja M =\(\begin{pmatrix}a & 0 & b & 2 \\ a & a & 4 & 4 \\ 0 & a & 2 & b \\ \end{pmatrix}\)
a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear.
Para que valores de a e b o sistema admite:
a) Solucao unica
b) Solucao com uma variavel livre
c) Solucao com duas variaveis livres
d) Nenhuma solucao.

[PedroCunha]

Olá, alinepele.

Podemos reescrever a matriz dada na forma do seguinte sistema:

\(\begin{cases}ax + 0y + bz = 2 \\ ax + ay + 4z = 4 \\ 0x + ay + 2z = b\end{cases}\)

Aplicando a regra de Cramer:

\(\circ D = \begin{vmatrix} a & 0 & b \\ a & a & 4 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} a & 0 \\ a & a \\ 0 & a\end{matrix} \therefore D = -2a^2+a^2b \\\\\circ D_x = \begin{vmatrix} 2 & 0 & b \\ 4 & a & 4 \\ b & a & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & a \\ b & a \end{matrix} \therefore D_x = -4a+4ab-ab^2 \\\\\circ D_y = \begin{vmatrix} a & 2 & b \\ a & 4 &4 \\ 0 & b & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} a & 2 \\ a & 4 \\ 0 & b \end{matrix} \therefore D_y = 4a-4ab+ab^2 \\\\D_z = \begin{vmatrix} a & 0 & 2 \\ a & a & 4 \\ 0 & a & b \end{vmatrix} \begin{matrix} a & 0 \\ a & a \\ 0 & a \end{matrix} \therefore D_z = -2a^2+a^2b\)

Letra a:

Basta termos \(D \neq 0\)

Letra b:

Basta termos \(D \neq 0\) e \(\frac{D_x}{D}\) ou \(\frac{D_y}{D}\) ou \(\frac{D_z}{D}\) igual a 0.

Letra c:

Basta termos \(D \neq 0\) e algum par dentre as incógnitas nulo - por exemplo, \(\frac{D_x}{D} = \frac{D_y}{D} = 0\)-.

Letra d:

Devemos ter \(D = 0\) e \(D_x \neq 0, D_y \neq 0, D_z \neq 0\).

Creio que seja isso.

Att.,
Pedro

¹Deixei as contas para você. Favor conferir a minha resolução também.