[Determinantes] Verificar uma condição

[fff]

Verifique para matrizes 2*2 que se tem |AB|=|A| |B|.

[Rui Carpentier]

Tendo \(A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right]\) e \(B=\left[\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{matrix}\right]\) temos que \(AB=\left[\begin{matrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}& a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}& a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}\end{matrix}\right]\).
Dito isto, a demonstração de \(|AB|=|A||B|\) resume-se a verificar a identidade:

\((a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})(a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22})-(a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}) = (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})\).

(exercício)