Proposição referente a matrizes quadradas 2x2

[Gogo]

Designa-se por centro de M_2x2, e denota-se por Z(M_2x2) o conjunto das matrizes
2x2 que comutam com todas as matrizes 2x2, i.e., A pertence a Z(M_2x2) se, e só se,

AB = BA, qualquer que seja B pertencente a M_2x2

Mostre que se A, A' pertence a Z(M_2x2) então AA' pertence a Z(M_2x2).

[Sobolev]

Dado \(B\in M_{2x2}\) temos por hípótese que

\(AB=BA, \quad A'B = BA'\)

Então

\((AA')B = A(A'B) )= A(BA') = (AB)A' = (BA)A'=B(AA').\)

Vemos assim que a matriz \(AA'\) comuta com qualquer matriz 2x2, pelo que também pertence ao centro. Note que o facto de se tratar de matrizes 2x2 é irrelevante. O resultado é verdadeiro para matrizes nxn.