Justifique a seguinte afirmação em relação a matrizes

[Gogo]

Para A ∈ M_n×n, x = [x1 ... xn]^Te b = [b1 ... bn]^T, justifique as seguintes afirmações:


Seja v_p uma solução (particular) do sistema A_x = b, então todas as soluções deste sistema são da forma v_p + v_h onde v_hé uma solução do sistema homogéneo associado, A_x = 0.

[Sobolev]

Veja que:

\(A(v_p+v_h) = A v_p + A v_h = A v_p = b\)

pelo que é imediato afirmar que \(v_p+v_h\) é solução do sistema, para qualquer solução \(v_h\) do sistema homogéneo. Mas queremos mostrar um resultado um pouco mais forte: que qualquer solução do sistema pode ser obtida dessa forma. Para isso basta pensar que quaquer vector \(v\) se pode decompor como

\(v = v_p + (v-v_p)\)

Se \(v\) é solução do sistema, então \(v-v_p\) é solução do sistema homogéneo (porque \(A(v-v_p)=Av -Av_p = b -b=0\)). Designando \(v_h = v-v_p\) temos o resultado pretendido.