Fórum de Matemática
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Um designer gráfico usa um programa computacional que representa cada ponto \(P(x,y)\) do plano cartesiano pela matriz\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\).
Para cada par de pontos \(P(x,y)\neq(0,0)\) e \(Q(x_1,y_1)\), esse programa encontra uma matriz quadrada \(M\), tal que \(M\)\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\) . Considerando a matriz \(M\) da forma \(M=AB\), onde \(A=\begin{bmatrix}\alpha & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}\cos \theta & -sen \theta\\ sen \theta & cos \theta \end{bmatrix}\) , com\(\theta \in R\) , o designer observou que, se \(\alpha\) pertence a um determinado conjunto \(C\), então para cada ponto \(Q(x_1,y_1)\) existe um único ponto\(P(x,y)\), tal que \(M\)\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\) . Nesse contexto, é correto afirmar que o conjunto \(C\) é:

a)\(\left (- \infty,1 ]\right\)
b)\(\left (- \infty,1 )\right \cup (1,\infty)\)
c)\({1}\)
d)\([1,\infty\)
e)\(R\)

Basicamente queremos saber quando M é invertível.

B é uma matriz de rotação. Tem sempre inversa.
A é o problema

\(M=AB \Leftrightarrow M^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

A é invertível se \(\alpha\) for diferente de -1. Logo é a resposta b)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Não compreendi muito bem, tem uma maneira mais prãtica de interpretar essa questão

Se \(P\) é o vetor do enunciado e \(Q\) é o vetor do enunciado, você sabe que

\(M.P=Q\)

Para que a cada ponto de \(P\), equivalha um único ponto \(Q\) e vice-versa, a matriz \(M\) tem de ser invertível

Como B é uma matriz de rotação, tem sempre inversa

Como o resultado do produto de duas matrizes invertíveis é também invertível, tem de achar os valores de \(\alpha\), que fazem da matriz \(A\) invertível.

O prof. José Sousa depois explicou esse ponto...

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Esse teorema eu desconheço... Que se o produto entre o ponto P e M, este representado pela matriz A.B, origina um ponto Q, se M for invertível.

não foi bem isso que foi dito...

o que foi dito é que um ponto \(P\) qualquer equivale apenas um único ponto \(Q\) e vice-versa, sse \(M\) for invertível

trata-se de uma correspondência biunívoca, que no caso das funções por exemplo são as funções bijetoras

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João Pimentel Ferreira
 
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Agradeceria se alguem me mostrasse passo a passo a resolução... De imediato peço desculpas pelo incomodo que estou dando...

Percebe esta imagem?

E se sim, percebe a noção aplicada ao problema e à teoria dos conjuntos?

a cada ponto \(X\) corresponde apenas um ponto \(Y\) e vice-versa, isto só é possível no caso matricial se a relação entre os dois conjuntos (espaços), for invertível, ou seja,

sendo

\(M(X)=Y\)

ou

\(M.X=Y\)

se \(M\) for invertível

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João Pimentel Ferreira
 
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Agora compreendi, na questão diz primeiramente que para cada ponto P correspondea um Q e na parte final diz que cada Q corresponde a um P, para que isso aconteça a função tem que ser bijetora e invertível. Ou seja se eu multiplicar M por P obtenho Q e se multiplicar a inversa de M pelo Q obtenho P. É isso?

Tbm poderia ser considerado a seguinte solução que para M ser invertivel, o det(M) tem que ser diferente de zero como M=A.B e tanto A como B são matrizes quadradas que possuem a mesma ordem pelo teorema de Binet det(A.B)= det(A).det(B), logo para M ser invertível o det(A) ou det(B) tem que ser diferentes de zero, o det(B)=1 e para o det(A) ser diferente de zero \(\alpha \neq 1\)

Logo o conjunto C é \((- \infty,1) \cup (1, +\infty)\)