Matrizes por método de Gauss Seidel (Me ajude nessa questão)

[Xavier]

Dado o sistema de equações lineares

10 x1 + 2 x2 + x3 = 7
x1 + 5 x2 + x3 = - 8
2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 6

pede-se:
a) verificar se o sistema tem convergência garantida por métodos iterativos, justificando
suas conclusões (Se necessário, troque linhas ou colunas para tentar a garantia de
convergência).
b) a solução aproximada do sistema com precisão erro menor/igual a 0,02 usando o método de Gauss-
Seidel, partindo da solução inicial [0,5 -1 2]e fixando três casas decimais ao longo
dos cálculos.

[João P. Ferreira]

Vai um pouco atrasado mas repare que se colocar o sistema na forma \(A.X=B\) com \(X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}\)

o determinante da matriz \(A=\begin{bmatrix} 10 & 2 & 1\\ 1 & 5 & 1\\ 2 & 3 & 10 \end{bmatrix}\) do sistema é \(|A|=447\)

como é diferente de zero, significa que a matriz A tem inversa logo \(X=A^{-1}B\)

assim, é possível obter um vetor \(X\) através do referido método
(se percebi bem a pergunta)

[Sobolev]

O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares, e a sua convergência não está garantida pela invertibilidade da matriz. Pode acontecer que o sistema tenha solução mas que o método em causa não possa ser utilizado para a obter. A grande vantagem destes método por oposição a métodos directos como a eliminação de Gauss tem a ver com questões de estabilidade e propagação de erros de arredondamento. O método parte de uma aproximação (palpite) inicial e vai produzindo uma sucessão de vectores, presumivelmente convergente para a solução do sistema. Concretamente,

\(x^{(k+1)} = D^{-1}(b - Ux^{(k)}-L x^{(k+1)})\)

em que a matriz A é decomposta como L+D+U.

O método é convergente se e só se o raio espectral da matriz \((L+D)^{-1}U\) for inferior a 1. Existem porém condições suficientes (apenas suficientes) de convergência mais simples de verificar, como é o caso de a matriz A ser de diagonal estritamente dominante por linhas ( ou colunas), i.e. o módulo do elemento da diagonal ser sempre superior à soma dos módulos dos restantes elementos na mesma linha (ou coluna).

No exemplo apresentado a matriz é de diagonal estritamente dominante e por isso fica garantida a convergência do método, qualquer que seja a aproximação inicial considerada.

Relativamente à segunda pergunta, sendo o método da Gauss-Seidel uma aplicação do método do ponto fixo no caso da resolução numérica de um sistema de equações lineares, podemos utilizar uma das estimativas de erro para determinar qual o número de iterações necessárias para atingir determinada precisão. Por exemplo

\(\|| z-x^{(k)}\|| \leq \frac{\||C\||^k}{1-\||C\||} \|| x^{(1)}-x^{(0)}\||\)

Considerando a norma matricial que lhe for mais conveniente , p.ex. a norma infinito. Determinado a priori o número de iterações, é fazer as continhas ...