(MACK/77) Determinantes

[danjr5]

Os valores de \(x\), \(0 \leq x \leq 2\pi\), tais que para todo \(a\) real se tenha \(\begin{vmatrix} a & tg \, x \\ 1 & (a - 2tg \, x) \end{vmatrix} > 0\), são:

a) \(\frac{3\pi}{4} < x < \pi\) ou \(\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi\)

b) \(\frac{3\pi}{4} < x < \frac{4\pi}{3}\) ou \(\frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{4}\)

c) \(\frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3}\) ou \(\frac{4\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{4}\)

d) \(\frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{6}\) ou \(\frac{4\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{6}\)

Spoiler:

a

Desde já agradeço!

Daniel.

[Rui Carpentier]

\(\begin{vmatrix} a & \mbox{tg} x \\ 1 & (a - \mbox{tg} x) \end{vmatrix} =a^2-2(\mbox{tg} x) a -\mbox{tg} x=(a-\mbox{tg}x)^2-\mbox{tg} x(\mbox{tg}x+1)\)
Logo o determinante é maior que zero para qualquer \(a\) se e só se \(\mbox{tg} x(\mbox{tg}x+1)<0 \Leftrightarrow -1<\mbox{tg}x<0\Leftrightarrow x\in \left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right[\cup \left]\frac{7\pi}{4},2\pi\right[\).

[danjr5]

Rui Carpentier,
boa noite!
Não consegui acompanhar a conclusão, especificamente na parte destacada:

\(\begin{vmatrix} a & \mbox{tg} x \\ 1 & (a - \mbox{tg} x) \end{vmatrix} =a^2-2(\mbox{tg} x) a -\mbox{tg} x=(a-\mbox{tg}x)^2-\mbox{tg} x(\mbox{tg}x+1)\)
Logo o determinante é maior que zero para qualquer \(a\) se e só se \(\mbox{tg} x(\mbox{tg}x+1)<0 \Leftrightarrow \fbox{-1<\mbox{tg}x<0\Leftrightarrow x\in \left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right[\cup \left]\frac{7\pi}{4},2\pi\right[}\).

Desde já agradeço!

Daniel.

[Rui Carpentier]

Rui Carpentier,
boa noite!
Não consegui acompanhar a conclusão, especificamente na parte destacada:

\(\begin{vmatrix} a & \mbox{tg} x \\ 1 & (a - \mbox{tg} x) \end{vmatrix} =a^2-2(\mbox{tg} x) a -\mbox{tg} x=(a-\mbox{tg}x)^2-\mbox{tg} x(\mbox{tg}x+1)\)
Logo o determinante é maior que zero para qualquer \(a\) se e só se \(\mbox{tg} x(\mbox{tg}x+1)<0 \Leftrightarrow \fbox{-1<\mbox{tg}x<0\Leftrightarrow x\in \left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right[\cup \left]\frac{7\pi}{4},2\pi\right[}\).

Desde já agradeço!

Daniel.

Desculpa Daniel,

não reparei no erro. É \(\left]\frac{3\pi}{4},\pi\right[\cup\left]\frac{7\pi}{4},2\pi\right[\) e não \(\left]\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\\right[\cup\left]\frac{7\pi}{4},2\pi\right[\). No fundo são os pontos \(x\in[0,2\pi]\) tais que \(\mbox{tg}x\in ]-1,0[\).

[danjr5]

Rui Carpentier,
muito obrigado!
E, não precisa se desculpar.

Grato.

Daniel.