Multiplicação com Matriz Singular produz Matriz não Singular?

[Rogério Meneghetti]

Olá senhores,

Por exemplo, existem as matrizes A[mxn], B[nxn] e C[mxm], cuja matriz B é singular.

A.B.A' = C (A' é a matriz transposta de A)

Existe alguma matriz A cuja matriz C é não singular? Ou C é sempre singular?
Existe algum teorema que comenta sobre isso?

Grato desde já.

[Sobolev]

Boa tarde,

Existem vários teorema que permitem obter majorantes e minorantes para a característica (rank) de uma matriz produto... Pelo menos para algumas matrizes B é possível determinar uma matriz A de modo que a matriz C seja invertível. Veja este exemplo

\(B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 & 0 \\0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0
\end{array}\right), \qquad A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0
\end{array}\right),\qquad C = A B A^T=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 0 &1
\end{array}\right)\)

A matriz B é singular mas, com esta escolha de A, a matriz C é invertível.