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| Considerando as operações ∆ e * em Q definidas por: https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=11868 |
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| Autor: | Xico [ 13 Oct 2016, 20:47 ] |
| Título da Pergunta: | Considerando as operações ∆ e * em Q definidas por: |
Considerando as operações ∆ e * em Q definidas por: x∆y = x + y - 3 e x * y = x + y - xy/3. Mostre que (Q,∆,*) é um anel comutativo. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 17 Oct 2016, 19:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considerando as operações ∆ e * em Q definidas por: |
Tem que meter a mão na massa (mais suor que inspiração), verificar os seguintes axiomas/identidades: 1) (∆ é comutativa): \(x\Delta y=y\Delta x \Leftrightarrow x+y-3=y+x-3\). 2) (* é comutativa): \(x * y=y * x \Leftrightarrow x+y-xy/3 = y+x-yx/3\). 3) (∆ é associativa): \((x\Delta y)\Delta z=x\Delta (y\Delta z) \Leftrightarrow (x+y-3)+z-3=x+(y+z-3)-3\). 4) (* é associativa): \((x*y)*z=x*(y*z) \Leftrightarrow (x+y-xy/3)+z-(x+y-xy/3)z/3 = x+(y+z-yz/3)-x(y+z-yz/3)/3\). 5) (* é distribuitiva em ∆): \(x*(y\Delta z)=(x*y)\Delta (x*z) \Leftrightarrow x+(y+z-3)-x(y+z-3)/3= (x+y-xy/3)+(x+z-xz/3)-3\). 6) (existência de elemento neutro para ∆): existe \(\zeta\) que satisfaz a equação \(x\Delta \zeta =x \Leftrightarrow x+\zeta -3 =x\) para todo o x. 7) (existência de simétricos para ∆): para todo o a há solução x da equação \(a\Delta x=\zeta \Leftrightarrow a+x-3=\zeta\). 8) (existência de elemento neutro para *): existe \(\eta\) que satisfaz a equação \(x* \eta =x \Leftrightarrow x+\eta -x\eta /3 =x\) para todo o \(x\not=\zeta\). A partir daqui o trabalho é todo seu. |
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