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| Autor: | cardosor23 [ 09 jan 2012, 11:07 ] | ||
| Título da Pergunta: | Matriz | ||
Olá, bom dia! É a primeira vez que participo no fórum. Sou colega do NSilva, e ele falou-me muito bem do vosso fórum. Espero que também me possam ajudar. Tenho um exercício de álgebra em que preciso de ajuda. Obrigado Rc
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 jan 2012, 11:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Matriz |
Meu caro, bem-vindo ao fórum Se \(A=\[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]\) \(A^2=A.A=\[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]\[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]=\[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]\) Pode-se ver que \(A^n\) aparenta ser sempre daquela forma Vamos demonstrar por indução matemática... \(A^1=A\) é daquela forma em que \(\alpha=\beta=\gamma=1\) Por indução vamos demonstrar que se \(A^n\) é daquela forma, então também o é \(A^{n+1}\) \(A^{n+1}=A^n.A=\[ \begin{matrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \\ \end{matrix}\]\[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]=\[ \begin{matrix} \alpha & \alpha+\beta & \alpha+\beta+\gamma \\ 0 & \alpha & \alpha+\beta \\ 0 & 0 & \alpha \\ \end{matrix}\]\) que também é daquela forma apresentada, demonstrando-se assim o que se pretendia por indução Em relação à outra alínea terá que colocar noutro tópico... Seja bem-vindo meu caro Volte sempre |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 jan 2012, 11:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Matriz |
Em relação à alínea b) como a matriz A é sempre triangular superior, \(r(A^n)=3\), logo a dimensão é 3 |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 jan 2012, 15:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Matriz |
Esta alínea b) está complicada, talvez não seja o que referi anteriormente pois não é o espaço gerado pelas linhas ou colunas de \(A\), mas antes o espaço gerado pelas diversas matrizes \(A^n\) Dá que pensar 
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| Autor: | João P. Ferreira [ 09 jan 2012, 15:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Matriz |
Parece-me ser isto... Repare que qq combinação linear \(\lambda_0A^0+\lambda_1A^1+\lambda_2A^2+\lambda_3A^3+...+\lambda_nA^n, \lambda_n \in \Re \forall n \in \mathbb{N}_0\) pode ser escrita nesta forma: \(k_1\[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]+k_2\[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\]+k_3\[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\], k_1,k_2,k_3 \in \Re\) Assim estas três matrizes formam uma base e a dimensão da base é 3 Acho que é isto Seja bem-vindo |
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