provar que uma matriz diagonalizavel

[helena]

Mostre que qualquer matriz A que pertence M3x3 (C) satisfazendo A^3=3 é diagonalizável.

[Rui Carpentier]

Seja J a forma canónica de Jordan da matriz A. Então J=D+N onde D é uma matriz diagonal formada pelos valores próprios de A repetidos de acordo com a sua multiplicidade algébrica e N é uma matriz nilpotente que é zero em todas as entradas com exceção da diagonal acima da principal onde pode ser 0 ou 1. O importante de observar é que só pode ser 1 numa entrada de J se esta for adjacente a dois valores iguais da diagonal. Assim sendo N comuta com D e \((D+N)^3=D^3+3D^2N+3DN^2+N^3\). Ora sendo \(A^3=3I\) então também temos \(J^3=3I\). Isto implica que \(D^3=3I\) e \(N=0\). Logo J=D, ou seja, A é diagonalizável. A razão porque \(D^3=3I\) e \(N=0\) é que \(3D^2N+3DN^2+N^3=(3D^2+3DN+N^2)N\) é uma matriz triangular superior com diagonal nula enquanto \(3I-D^3\) é diagonal. Como são iguais, temos \(3I-D^3=0\Leftrightarrow D^3=3I\) e \((3D^2+3DN+N^2)N=0 \Rightarrow N=0\) (pois \(3D^2+3DN+N^2\) é invertível).

[helena]

Correção A^3=A

[Rui Carpentier]

Nesse caso também se pode fazer do mesmo modo. Seja J=D+N a forma canónica de Jordan da matriz A (com D diagonal e N nilpotente, triangular superior, que comuta com D). Se \(A^3=A\) e então \(J^3=J\) e portanto temos \(D^3+3D^2N+3DN^2+N^3=D+N\) logo \(D^3=D\) e \(3D^2N+3DN^2+N^3=N\). Ou seja, \((3D^2-I+3DN+N^2)N=0\). Como \(D^3=D\), as entradas de D tomem valores em {-1,0,1} (raízes da equação \(x^3=x\)). Temos então que \(3D^2-I+3DN+N^2\) é uma matriz triangular superior cuja a diagonal principal, \(3D^2-I\), toma valores em {-1,2}, logo \(3D^2-I+3DN+N^2\) é invertível e sendo assim \((3D^2-I+3DN+N^2)N=0\) implica que N=0. Ou seja, J é diagonal (A é diagonalizável).

[helena]

Obrigada.