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| possiveis formas caqnonicas de jordan https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=12542 |
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| Autor: | helena [ 03 abr 2017, 14:29 ] |
| Título da Pergunta: | possiveis formas caqnonicas de jordan |
Determine todas as possíveis formas canónicas de Jordan para uma matriz B que pertence M6x6(R) tal que as seguintes condições são satisfeitas: B-I6 tem catacteristica 3, cujo polinómio característico tem valores próprios 1 com ma=4 e -2 com ma=2 e o polinómio mínimo tem valores próprios -2 com ma=2 e 1 com ma=2. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 04 abr 2017, 14:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: possiveis formas caqnonicas de jordan |
Espero ter entendido bem a questão. Pelas multiplicidades algébricas dos valores próprios, a forma canónica de Jordan J de B terá (a menos de permutação) uma diagonal da forma diag(1,1,1,1,-2,-2). A característica de J-I é igual à característica de B-I que é 3. Ora sendo J-I uma matriz triangular superior de diagonal diag(0,0,0,0,-3,-3), para que tenha característica 3 terá que ter uma e uma só entrada 1 no bloco relativo ao valor próprio 1. Ou seja, a menos de permutação \(J=\left\[\matrix{1&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&-2&x\\0&0&0&0&0&-2}\right\]\). Finalmente o facto da multiplicidade algébrica de -2 no polinómio mínimo de B (que também é polinómio mínimo de J) ser 2 diz-nos que x=1 (se x fosse 0 então o polinómio mínimo seria \((t-1)^2(t+2)\)). PS- parece que no exercício há informação redundante: não é necessário saber a m.a. de 1 no polinómio mínimo (ou alternativamente não seria necessária a informação sobre a característica de B-I). |
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