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| Dúvida Matrizes trigonométricas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=1272 |
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| Autor: | rodriguinhogba [ 20 dez 2012, 20:33 ] |
| Título da Pergunta: | Dúvida Matrizes trigonométricas [resolvida] |
Um designer gráfico usa um programa computacional que representa cada ponto \(P(x,y)\) do plano cartesiano pela matriz\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\). Para cada par de pontos \(P(x,y)\neq(0,0)\) e \(Q(x_1,y_1)\), esse programa encontra uma matriz quadrada \(M\), tal que \(M\)\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\) . Considerando a matriz \(M\) da forma \(M=AB\), onde \(A=\begin{bmatrix}\alpha & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}\cos \theta & -sen \theta\\ sen \theta & cos \theta \end{bmatrix}\) , com\(\theta \in R\) , o designer observou que, se \(\alpha\) pertence a um determinado conjunto \(C\), então para cada ponto \(Q(x_1,y_1)\) existe um único ponto\(P(x,y)\), tal que \(M\)\(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}\) . Nesse contexto, é correto afirmar que o conjunto \(C\) é: a)\(\left (- \infty,1 ]\right\) b)\(\left (- \infty,1 )\right \cup (1,\infty)\) c)\({1}\) d)\([1,\infty\) e)\(R\) |
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| Autor: | josesousa [ 21 dez 2012, 13:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
Basicamente queremos saber quando M é invertível. B é uma matriz de rotação. Tem sempre inversa. A é o problema \(M=AB \Leftrightarrow M^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) A é invertível se \(\alpha\) for diferente de -1. Logo é a resposta b) |
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| Autor: | rodriguinhogba [ 22 dez 2012, 18:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
josesousa Escreveu: Basicamente queremos saber quando M é invertível. B é uma matriz de rotação. Tem sempre inversa. A é o problema \(M=AB \Leftrightarrow M^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) A é invertível se \(\alpha\) for diferente de -1. Logo é a resposta b) Não compreendi muito bem, tem uma maneira mais prãtica de interpretar essa questão |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 23 dez 2012, 16:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
Se \(P\) é o vetor do enunciado e \(Q\) é o vetor do enunciado, você sabe que \(M.P=Q\) Para que a cada ponto de \(P\), equivalha um único ponto \(Q\) e vice-versa, a matriz \(M\) tem de ser invertível Como B é uma matriz de rotação, tem sempre inversa Como o resultado do produto de duas matrizes invertíveis é também invertível, tem de achar os valores de \(\alpha\), que fazem da matriz \(A\) invertível. O prof. José Sousa depois explicou esse ponto... |
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| Autor: | rodriguinhogba [ 23 dez 2012, 22:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
João P. Ferreira Escreveu: Se \(P\) é o vetor do enunciado e \(Q\) é o vetor do enunciado, você sabe que \(M.P=Q\) Para que a cada ponto de \(P\), equivalha um único ponto \(Q\) e vice-versa, a matriz \(M\) tem de ser invertível Como B é uma matriz de rotação, tem sempre inversa Como o resultado do produto de duas matrizes invertíveis é também invertível, tem de achar os valores de \(\alpha\), que fazem da matriz \(A\) invertível. O prof. José Sousa depois explicou esse ponto... Esse teorema eu desconheço... Que se o produto entre o ponto P e M, este representado pela matriz A.B, origina um ponto Q, se M for invertível. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 dez 2012, 21:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
rodriguinhogba Escreveu: Esse teorema eu desconheço... Que se o produto entre o ponto P e M, este representado pela matriz A.B, origina um ponto Q, se M for invertível. não foi bem isso que foi dito... o que foi dito é que um ponto \(P\) qualquer equivale apenas um único ponto \(Q\) e vice-versa, sse \(M\) for invertível trata-se de uma correspondência biunívoca, que no caso das funções por exemplo são as funções bijetoras |
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| Autor: | rodriguinhogba [ 26 dez 2012, 00:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
João P. Ferreira Escreveu: rodriguinhogba Escreveu: Esse teorema eu desconheço... Que se o produto entre o ponto P e M, este representado pela matriz A.B, origina um ponto Q, se M for invertível. não foi bem isso que foi dito... o que foi dito é que um ponto \(P\) qualquer equivale apenas um único ponto \(Q\) e vice-versa, sse \(M\) for invertível trata-se de uma correspondência biunívoca, que no caso das funções por exemplo são as funções bijetoras Agradeceria se alguem me mostrasse passo a passo a resolução... De imediato peço desculpas pelo incomodo que estou dando... |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 dez 2012, 00:15 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas | ||
Percebe esta imagem? E se sim, percebe a noção aplicada ao problema e à teoria dos conjuntos? a cada ponto \(X\) corresponde apenas um ponto \(Y\) e vice-versa, isto só é possível no caso matricial se a relação entre os dois conjuntos (espaços), for invertível, ou seja, sendo \(M(X)=Y\) ou \(M.X=Y\) se \(M\) for invertível
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| Autor: | rodriguinhogba [ 26 dez 2012, 12:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
João P. Ferreira Escreveu: Percebe esta imagem? E se sim, percebe a noção aplicada ao problema e à teoria dos conjuntos? a cada ponto \(X\) corresponde apenas um ponto \(Y\) e vice-versa, isto só é possível no caso matricial se a relação entre os dois conjuntos (espaços), for invertível, ou seja, sendo \(M(X)=Y\) ou \(M.X=Y\) se \(M\) for invertível Agora compreendi, na questão diz primeiramente que para cada ponto P correspondea um Q e na parte final diz que cada Q corresponde a um P, para que isso aconteça a função tem que ser bijetora e invertível. Ou seja se eu multiplicar M por P obtenho Q e se multiplicar a inversa de M pelo Q obtenho P. É isso? |
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| Autor: | rodriguinhogba [ 26 dez 2012, 15:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida Matrizes trigonométricas |
rodriguinhogba Escreveu: João P. Ferreira Escreveu: Percebe esta imagem? E se sim, percebe a noção aplicada ao problema e à teoria dos conjuntos? a cada ponto \(X\) corresponde apenas um ponto \(Y\) e vice-versa, isto só é possível no caso matricial se a relação entre os dois conjuntos (espaços), for invertível, ou seja, sendo \(M(X)=Y\) ou \(M.X=Y\) se \(M\) for invertível Agora compreendi, na questão diz primeiramente que para cada ponto P correspondea um Q e na parte final diz que cada Q corresponde a um P, para que isso aconteça a função tem que ser bijetora e invertível. Ou seja se eu multiplicar M por P obtenho Q e se multiplicar a inversa de M pelo Q obtenho P. É isso? Tbm poderia ser considerado a seguinte solução que para M ser invertivel, o det(M) tem que ser diferente de zero como M=A.B e tanto A como B são matrizes quadradas que possuem a mesma ordem pelo teorema de Binet det(A.B)= det(A).det(B), logo para M ser invertível o det(A) ou det(B) tem que ser diferentes de zero, o det(B)=1 e para o det(A) ser diferente de zero \(\alpha \neq 1\) Logo o conjunto C é \((- \infty,1) \cup (1, +\infty)\) |
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