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 Título da Pergunta: Calcular o determinante se x = 2
MensagemEnviado: 08 Oct 2017, 16:19 
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Boa tarde pessoal,

estou começando a estudar algebra, e gostaria de saber como faço para resolver este exercício?

Calcular o determinante \(\begin{bmatrix} x& 0& 0& 3 \\ -1& x& 0& 0 \\ 0& -1& x& 1 \\ -1 &0 & -1& -2 \end{bmatrix}\), representa que o polinómio se x = 2 , qual será o valor do determinante?

Obrigado!


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MensagemEnviado: 08 Oct 2017, 21:25 
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hervilho Escreveu:
Boa tarde pessoal,

estou começando a estudar algebra, e gostaria de saber como faço para resolver este exercício?

Calcular o determinante \(\begin{bmatrix} x& 0& 0& 3 \\ -1& x& 0& 0 \\ 0& -1& x& 1 \\ -1 &0 & -1& -2 \end{bmatrix}\), representa que o polinómio se x = 2 , qual será o valor do determinante?

Obrigado!


Seja \(A_i_x_j\) uma matriz de i linhas e j colunas. Se i = j = 2, ou seja, uma matriz \(A_2_x_2\),

\(A_2_x_2 = \begin{bmatrix} a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2\end{bmatrix}\)

o determinante é calculado somando o produto da diagonal principal e subtraindo o produto da diagonal secundária:

\(Det(A_2_x_2) = \left | \begin{bmatrix} a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2\end{bmatrix} \right | = (a_1_1)(a_2_2) - (a_1_2)(a_2_1)\)

O determinante de uma matriz \(A_3_x_3\) pode ser calculado de outra forma, mas para melhor compreensão de como calcular o determinante de matrizes maiores, o método geral é escolher uma linha ou coluna, e para cada elemento dela, desconsiderar suas respectivas colunas e linhas, multiplicar esse elemento por \((-1)^(^i^+^j^)\) (para um elemento \(a_i_j\)) e pelo determinante da sub-matriz formada pelas linhas e colunas remanescentes e somar esses produtos no final. Exemplificando,

Para uma matriz

\(A_3_x_3 = \begin{bmatrix} a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 \end{matrix}\)

Escolhendo a primeira linha para o método, o determinante da matriz é calculado por:

\(Det (A_3_x_3) = \left | \begin{bmatrix} a_1_1 & a_1_2 & a_1_3 \\ a_2_1 & a_2_2 & a_2_3 \\ a_3_1 & a_3_2 & a_3_3 \end{matrix} \right | = a_1_1(-1)^(^1^+^1^)\left | \begin{bmatrix} a_2_2 & a_2_3 \\ a_3_2 & a_3_3 \end{matrix} \right | + a_1_2(-1)^(^1^+^2^) \left | \begin{bmatrix} a_2_1 & a_2_3 \\ a_3_1 & a_3_3 \end{matrix} \right | + a_1_3(-1)^(^1^+^3^) \left | \begin{bmatrix} a_2_1 & a_2_2 \\ a_3_1 & a_3_2 \end{matrix} \right |\)

Usando esses resultados, você já pode calcular o determinante de uma matriz \(A_4_x_4\). Para x = 2, basta substituir o x por 2 na matriz e utilizar o mesmo método para a matriz resultante.

Substituindo x por 2 na matriz:

\(\begin{bmatrix} 2& 0& 0& 3 \\ -1& 2& 0& 0 \\ 0& -1& 2& 1 \\ -1 &0 & -1& -2 \end{bmatrix}\)

Agora, é importante que, para calcular de forma mais rápida, você escolha a linha ou coluna que tenha a maior quantidade de zeros para utilizar o método. Nesse caso, eu começaria escolhendo a primeira linha, que possui dois zeros, para praticar o método.


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