Achar matriz pertencente a um conjunto e seus autovalores reais.

[BrunaBraga]

(b) Seja V = M2 o conjunto das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais. Encontre os números
reais λ e as matrizes A ∈ M2 não nulas que satisfazem a equação:

[2 1;1 2]A = λA

Anexos

q4.PNG (24.12 KiB) Visualizado 2650 vezes

[jorgeluis]

BrunaBraga,
\(X.A=\lambda.A \Leftrightarrow \lambda =\frac{X.A}{A}
logo,
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}=\lambda.\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\)

\(\lambda.a=2a+c
\lambda.b=2b+d
\lambda.c=a+2c
\lambda.d=b+2d\)

daí, conclui-se que:
\(a=c
b=d\)

e por consequencia:
\(\lambda=3\)

pela equação característica, chegaremos ao conjunto das matrizes \(A \in M_2\):
\(det(A-\lambda.I)=0\)

\(\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a-\lambda & b\\
a & b-\lambda
\end{bmatrix}\)

\(\begin{vmatrix}
a-\lambda & b\\
a & b-\lambda
\end{vmatrix}={0}\)

chegamos aos autovalores reais:
\(\lambda_1={0}
e
\lambda_2=a+b
como,
\lambda=3
entao,
a+b=3\)

logo, o conjunto das matrizes, não nulas, \(A \in M_2\) é:
\(S=\left \{A_{2\times 2}\forall i\neq j \Leftrightarrow a_{ii}+a_{jj}=3 :: a_{ij}+a_{ji}=3::a_{ii}+a_{ij}=3 \right \}\)