(b) Seja V = M2 o conjunto das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais. Encontre os números
reais λ e as matrizes A ∈ M2 não nulas que satisfazem a equação:
[2 1;1 2]A = λA
| Anexos: |
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| Achar matriz pertencente a um conjunto e seus autovalores reais. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=13549 |
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| Autor: | BrunaBraga [ 04 jan 2018, 17:17 ] | ||
| Título da Pergunta: | Achar matriz pertencente a um conjunto e seus autovalores reais. | ||
(b) Seja V = M2 o conjunto das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais. Encontre os números reais λ e as matrizes A ∈ M2 não nulas que satisfazem a equação: [2 1;1 2]A = λA
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| Autor: | jorgeluis [ 05 jan 2018, 14:41 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Achar matriz pertencente a um conjunto e seus autovalores reais. |
BrunaBraga, \(X.A=\lambda.A \Leftrightarrow \lambda =\frac{X.A}{A} logo, \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}=\lambda.\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\) \(\lambda.a=2a+c \lambda.b=2b+d \lambda.c=a+2c \lambda.d=b+2d\) daí, conclui-se que: \(a=c b=d\) e por consequencia: \(\lambda=3\) pela equação característica, chegaremos ao conjunto das matrizes \(A \in M_2\): \(det(A-\lambda.I)=0\) \(\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a-\lambda & b\\ a & b-\lambda \end{bmatrix}\) \(\begin{vmatrix} a-\lambda & b\\ a & b-\lambda \end{vmatrix}={0}\) chegamos aos autovalores reais: \(\lambda_1={0} e \lambda_2=a+b como, \lambda=3 entao, a+b=3\) logo, o conjunto das matrizes, não nulas, \(A \in M_2\) é: \(S=\left \{A_{2\times 2}\forall i\neq j \Leftrightarrow a_{ii}+a_{jj}=3 :: a_{ij}+a_{ji}=3::a_{ii}+a_{ij}=3 \right \}\) |
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