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Geometria Espacial Volumes Torncos de Cones
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=13668		 Página 1 de 1
Autor:  rodriguinhogba [ 08 mar 2018, 00:02 ]
Título da Pergunta:  Geometria Espacial Volumes Torncos de Cones
Um estudante, ao fazer a ponta de um lápis grafite com uma lapiseira, notou que a ponta tem a forma de um cone. A ponta quebra de modo que ficamos com um tronco de um cone circular reto cujos raios das bases são 2 e 4, respectivamente. Encontrando o raio da base da seção determinada ao traçar um plano paralelo às bases do tronco do cone circular reto e secante à superfície lateral, que determina dois troncos de cones como mesmo volume, podemos afirmar que o raio da base da seção é?
Autor:  Silviosouza [ 30 mar 2018, 20:59 ]
Título da Pergunta:  Re: Geometria Espacial Volumes Torncos de Cones
A um pequeno erro na elaboração da pergunta, um cone não pode ter dois raios, para ter dois raios seriam dois cones e não um. O Calculo da area de um cone leva em conta a sua altura e seu raio(que seria sua base), sabendo sua altura e por coincidência podera sim um cone ter mesma area que outro.
Formula = Pi x raio x (geratriz + raio). Onde geratriz por pitagoras será igual a hipotenusa que é o tamanho da base ao cume do cone.
Autor:  rodriguinhogba [ 25 abr 2018, 21:21 ]
Título da Pergunta:  Re: Geometria Espacial Volumes Torncos de Cones
Silviosouza Escreveu:
A um pequeno erro na elaboração da pergunta, um cone não pode ter dois raios, para ter dois raios seriam dois cones e não um. O Calculo da area de um cone leva em conta a sua altura e seu raio(que seria sua base), sabendo sua altura e por coincidência podera sim um cone ter mesma area que outro.
Formula = Pi x raio x (geratriz + raio). Onde geratriz por pitagoras será igual a hipotenusa que é o tamanho da base ao cume do cone.


Essa questão foi de um concurso e não foi anulada. Vou postar um print.
Autor:  rodriguinhogba [ 25 abr 2018, 21:24 ]
Título da Pergunta:  Re: Geometria Espacial Volumes Torncos de Cones
rodriguinhogba Escreveu:
Silviosouza Escreveu:
A um pequeno erro na elaboração da pergunta, um cone não pode ter dois raios, para ter dois raios seriam dois cones e não um. O Calculo da area de um cone leva em conta a sua altura e seu raio(que seria sua base), sabendo sua altura e por coincidência podera sim um cone ter mesma area que outro.
Formula = Pi x raio x (geratriz + raio). Onde geratriz por pitagoras será igual a hipotenusa que é o tamanho da base ao cume do cone.


Essa questão foi de um concurso e não foi anulada. Vou postar um print.


Anexos:
Comentário do Ficheiro: QUESTÃO CONCURSO PROFESSOR DE MATEMÁTICA.
Sem título.jpg
Sem título.jpg [ 61.74 KiB | Visualizado 3634 vezes ]
Autor:  Baltuilhe [ 26 abr 2018, 05:12 ]
Título da Pergunta:  Re: Geometria Espacial Volumes Torncos de Cones
Boa noite!

Vamos resolver o problema de forma 'literal', assim resolve-se qualquer caso, ok?
Imagine um tronco de cone com altura H, raio da base menor a e raio da base maior b.
O volume do tronco de cone é dado por:
\(V_t = \dfrac{ \pi \cdot H }{ 3 } \cdot \left( a^2 + b^2 + a \cdot b \right)\)

Agora, tomemos um tronco de cone de altura x e raio da base menor a e raio da base maior r, seu volume será dado por:
\(V = \dfrac{ \pi \cdot x }{ 3 } \cdot \left( a^2 + r^2 + a \cdot r \right)\)

Bom, para este último cone ter metade do volume do cone inicial, podemos começar a procurar relações entre as variáveis. Vamos correlacionar, primeiramente, x e r:
\(\\\dfrac{ x - 0 }{ H - 0 } = \dfrac{ r - a }{ b - a }\\
x = H \cdot \dfrac{ r - a }{ b - a }\)

Substituindo este valor de x na segunda equação:
\(\\V = \dfrac{ \pi \cdot H \cdot \dfrac{ r - a }{ b - a } }{ 3 } \cdot \left( a^2 + r^2 + a \cdot r \right)\\
V = \dfrac{ \pi \cdot H }{ 3 } \cdot \dfrac{ r - a }{ b - a } \cdot \left( a^2 + r^2 + a \cdot r \right)\\\)

Como este último é metade do volume total, temos:
\(\\V = \dfrac{ V_t }{ 2 }\\
\dfrac{ \pi \cdot H }{ 3 } \cdot \dfrac{ r - a }{ b - a } \cdot \left( a^2 + r^2 + a \cdot r \right) = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \dfrac{ \pi \cdot H }{ 3 } \cdot \left( a^2 + b^2 + a \cdot b \right)\\
\dfrac{ r - a }{ b - a } \cdot \left( a^2 + r^2 + a \cdot r \right) = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( a^2 + b^2 + a \cdot b \right)\\
\left( r - a \right) \cdot \left( a^2 + r^2 + a \cdot r \right) = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( b - a \right) \cdot \left( a^2 + b^2 + a \cdot b \right)\\
a^2r + r^3 + ar^2 - a^3 - ar^2 - a^2r = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( ba^2 + b^3 + ab^2 - a^3 -ab^2 -a^2b \right)\\
r^3 - a^3 = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( b^3 - a^3 \right)\\
r^3 = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cdot \left( b^3 - a^3 \right) + a^3\\
r^3 = \dfrac{ b^3 - a^3 + 2a^3 }{ 2 }\\
r^3 = \dfrac{ a^3 + b^3 } { 2 }\\
\fbox{ r = \sqrt[3]{ \dfrac{ a^3 + b^3 } { 2 } } }\)

Substituindo-se os dados do problema, teremos:
\(\\r = \sqrt[3]{ \dfrac{ a^3 + b^3 } { 2 } }\\
r = \sqrt[3]{ \dfrac{ 2^3 + 4^3 } { 2 } }\\
r = \sqrt[3]{ \dfrac{ 8 + 64 } { 2 } }\\
r = \sqrt[3]{ \dfrac{ 72 } { 2 } }\\
\fbox{ \fbox{ r = \sqrt[3]{ 36 } } }\)
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