Multiplicação de matrizes como movimentos do plano

[kakekikoku]

P.S.: As matrizes com A = (1 1 / 15 3) a barra (/) não é divisão, são os números da segunda linha.

1 - Determine os valores de x para que o vetor X = (1 x) represente uma direção invariante da matriz A = (1 1 / 15 3)

2 - o vetor (1 1) representa uma direção invariante da matriz (3 1 / 4 0)?

3 - Se M é uma matriz 2 × 2 e ABC é um triângulo em R^2, os pontos MA, MB e MC (obtidos por multiplicação de matrizes) são necessariamente vértices de um triângulo? Dê exemplos.

4 -Existem duas matrizes 2 × 2 distintas A e B tais que A (2 1) = B (2 1)? Caso negativo, demonstre; caso afirmativo, exiba um exemplo.

[PierreQuadrado]

1.

\(\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 15 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} 1+x = \lambda \\ 15 + 3x = \lambda x \end{cases} \Leftrightarrow 15 + 3x = (1+x) x \Leftrightarrow x^2 -2x - 15 ={0} \Leftrightarrow x=-3 \vee x={5}\)

No fundo pretende saber para que valores de x é que (1, x) é um vetor próprio de A.

2.

\(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

portanto (1 1) é uma direção invariante.

3. Não é verdade... considere por exemplo

\(M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A= (0,0), \quad B = (0,1), \quad (1,0)\)

Neste caso tem que

\(MA = (0,0), \quad MB = (0,0), \quad MC = (1,0)\).

4. Existem.