Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde!
Estou com dificuldades em encontrar 2 idempotentes que possam satisfazer as condições do seguinte exercício!
Alguém me pode, por favor, ajudar?!

Arranjar as matrizes não é problema. Basta que A e B sejam matrizes de projeção e com normas suficientemente pequenas para garantir a invertibilidade. Mas resolver o problema é outra coisa

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Pois...uma coisa de cada vez...
Eu não consegui nada ainda...
Alguma ajuda/sugestão?

Não sei se há outra forma mais simples de resolver, mas pode ser feito assim:

\(A(I-A-B)=A-A^2-AB=-AB\) e \((I-A-B)B=B-AB-B^2=-AB\) (por idempotência de A e B).
Logo \(A(I-A-B)=(I-A-B)B\) e, sendo \(I-A-B\) invertível, temos que \(B=(I-A-B)^{-1}A(I-A-B)\). Ou seja, A e B são conjugados, logo têm o mesmo rank.

Muito obrigada, Rui!