Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá a todos,
Gostaria de apresentar um problema que eu tenho estado a tentar resolver…
Acho que é importante porque a informação das matrizes de covariância é muito usada e permitira novas interpertações sobre a matrizes de covariancia cruzada.
Considerando o seguinte bloco de matrizes:
\(\begin{equation}
M=\begin{bmatrix}
S1 &C \\
C^T &S2 \\
\end{bmatrix}
\end{equation}\)
As matrizes S1 e S2 são simétricas e positivas semi-definidas. A matriz C é também positiva semi-definida.
O que é importante saber é:
1- Qual é a relação entre os vectores e valores próprios de M e as os vectores e valores próprios de S1 e S2.
2- Qual é a relação entre os vectores e valores próprios de S1,S2 e C
Tenho tentado usar a decomposição de valores próprios mas leva a expressões complicadas.
Poderiam-me ajudar com alguma sugestão de abordagem?

Muito obrigado pela atenção
Tudo de bom
GoodSpirit

olá

que cálculos é que já fez?
pode partilhar?

Se \(S1\) e \(S2\) são simétricas \(M\) é quadrada

Os valores próprios \(\lambda\) são dados pela expressão

\(|M-\lambda I|=0\)

então como nem \(C\) nem \(C^T\) estão na diagonal ficamos com

\(\left|\begin{matrix}
S1-\lambda I &C \\
C^T &S2-\lambda I \\
\end{matrix}
\right|=0\)

lembre-se que

\(\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B)\)
http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#Block_matrices

então

\(|S1-\lambda I||S2-\lambda I-C^T(S1-\lambda I)^{-1}C|=0\)

\(|S1-\lambda I||(S2-C^T(S1-\lambda I)^{-1}C)-\lambda I|=0\)

assim os valores próprios de \(M\) são os valores próprios de \(S1\) mais os de \(S2-C^T(S1-\lambda I)^{-1}C\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Atenção que a fórmula do determinante de uma matriz por blocos não pode ser usado neste caso, já que as matrizes S_1 e S_2 não são invertíveis. Se for aceitável supor que são definidas positivas, em vez de semi-definidas positivas, então já seria possível.

Olá João e Sobolev,

Vejo aqui uma dedução interessante que me faz pensar mais sobre as matrizes pseudoinversas.

Efectivamente, encontrei literatura interessante:

"Equalities and inequalities for inertias of Hermitian
matrices with applications"

que no fundo dá a resposta à primeira questão mas é bastante complicada...

As minhas abordagens passam pela decomposição da matriz em soma e em vectores próprios:
Por exemplo:
\(\begin{equation}
M=\begin{bmatrix}
S_1 &C\\
C^T &S_2\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
S_1 &0\\
0 &0\\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 &0\\
0 &S_2\\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 &C\\
C^T &0\\
\end{bmatrix}
\end{equation}\)

Cada uma destas matrizes é decomposta da seguinte forma
\(\sum\lambda_i.u_i.u_i^T\)

João, se vires o paper vais ver que estiveste quase lá

Eu não consegui ainda achar uma forma elegante para este problema e por isso vou ainda continuar a deduzir.

Tudo de bom e obrigado

GoodSpirit