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bloco de uma matriz de covariância https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=1721 |
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Autor: | GoodSpirit [ 04 fev 2013, 12:10 ] |
Título da Pergunta: | bloco de uma matriz de covariância |
Olá a todos, Gostaria de apresentar um problema que eu tenho estado a tentar resolver… Acho que é importante porque a informação das matrizes de covariância é muito usada e permitira novas interpertações sobre a matrizes de covariancia cruzada. Considerando o seguinte bloco de matrizes: \(\begin{equation} M=\begin{bmatrix} S1 &C \\ C^T &S2 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) As matrizes S1 e S2 são simétricas e positivas semi-definidas. A matriz C é também positiva semi-definida. O que é importante saber é: 1- Qual é a relação entre os vectores e valores próprios de M e as os vectores e valores próprios de S1 e S2. 2- Qual é a relação entre os vectores e valores próprios de S1,S2 e C Tenho tentado usar a decomposição de valores próprios mas leva a expressões complicadas. Poderiam-me ajudar com alguma sugestão de abordagem? Muito obrigado pela atenção Tudo de bom GoodSpirit |
Autor: | João P. Ferreira [ 19 fev 2013, 00:48 ] |
Título da Pergunta: | Re: bloco de uma matriz de covariância |
olá que cálculos é que já fez? pode partilhar? Se \(S1\) e \(S2\) são simétricas \(M\) é quadrada Os valores próprios \(\lambda\) são dados pela expressão \(|M-\lambda I|=0\) então como nem \(C\) nem \(C^T\) estão na diagonal ficamos com \(\left|\begin{matrix} S1-\lambda I &C \\ C^T &S2-\lambda I \\ \end{matrix} \right|=0\) lembre-se que \(\det\begin{pmatrix}A& B\\ C& D\end{pmatrix} = \det(A) \det(D - C A^{-1} B)\) http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#Block_matrices então \(|S1-\lambda I||S2-\lambda I-C^T(S1-\lambda I)^{-1}C|=0\) \(|S1-\lambda I||(S2-C^T(S1-\lambda I)^{-1}C)-\lambda I|=0\) assim os valores próprios de \(M\) são os valores próprios de \(S1\) mais os de \(S2-C^T(S1-\lambda I)^{-1}C\) |
Autor: | Sobolev [ 19 fev 2013, 09:11 ] |
Título da Pergunta: | Re: bloco de uma matriz de covariância |
Atenção que a fórmula do determinante de uma matriz por blocos não pode ser usado neste caso, já que as matrizes S_1 e S_2 não são invertíveis. Se for aceitável supor que são definidas positivas, em vez de semi-definidas positivas, então já seria possível. |
Autor: | GoodSpirit [ 19 fev 2013, 16:43 ] |
Título da Pergunta: | Re: bloco de uma matriz de covariância |
Olá João e Sobolev, Vejo aqui uma dedução interessante que me faz pensar mais sobre as matrizes pseudoinversas. Efectivamente, encontrei literatura interessante: "Equalities and inequalities for inertias of Hermitian matrices with applications" que no fundo dá a resposta à primeira questão mas é bastante complicada... As minhas abordagens passam pela decomposição da matriz em soma e em vectores próprios: Por exemplo: \(\begin{equation} M=\begin{bmatrix} S_1 &C\\ C^T &S_2\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} S_1 &0\\ 0 &0\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 &0\\ 0 &S_2\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 &C\\ C^T &0\\ \end{bmatrix} \end{equation}\) Cada uma destas matrizes é decomposta da seguinte forma \(\sum\lambda_i.u_i.u_i^T\) João, se vires o paper vais ver que estiveste quase lá ![]() Eu não consegui ainda achar uma forma elegante para este problema e por isso vou ainda continuar a deduzir. Tudo de bom e obrigado GoodSpirit |
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