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| Seja Q uma matriz 4x4 tal que detQ ≠ 0 e Q³ + 2.Q² = 0 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=5950 |
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| Autor: | Arlan [ 05 mai 2014, 02:42 ] |
| Título da Pergunta: | Seja Q uma matriz 4x4 tal que detQ ≠ 0 e Q³ + 2.Q² = 0 |
Seja Q uma matriz 4x4 tal que detQ ≠ 0 e Q³ + 2.Q² = 0.Então, temos: a) detQ = 2 b) detQ = −2 c) detQ = 16 d) detQ = −16 e) n.d.a. Obrigado. |
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| Autor: | Sobolev [ 05 mai 2014, 11:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sei resolver essa questão não. :) |
Deve apenas utilizar algumas propriedades dos determinantes. Se \(A,B\) forem matrizes n x n e \(a \in \mathbb{R}\) então temos \(det{AB} = det{A} \cdot det{B} det{ a A}= a^n det{A}\) Então \(Q^3 + 2Q^2 = 0 \Leftrightarrow Q^3 = -2Q^2 \Rightarrow det{Q^3}=det{-2 Q^2} \Leftrightarrow det{Q}^3 = (-2)^4 det{Q}^2 \Leftrightarrow det{Q}^2( det{Q} - 16) = 0 \Leftrightarrow det{Q}=0 \vee det{Q}=16\) Como é dito que o dterminante é não nulo, concluimos que deve ser 16. |
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| Autor: | npl [ 06 mai 2014, 07:10 ] |
| Título da Pergunta: | Passo na prova que me escapa. |
Sobolev Escreveu: .... Então \(det{Q}^3 = (-2)^4 det{Q}^2 \Leftrightarrow det{Q}^2( det{Q} - 16) = 0 \Leftrightarrow\) Não apanhei este passo. Eu assumi(apesar de estar enferrujado com a Álgebra Linear) que a matriz ao ser quadrada e ao ter determinante não nulo, teria inversa que podia ser aplicada a ambos os membros da equação duas vezes. Mas venha antes a explicação por favor. Obrigado antecipadamente Sobolev! |
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| Autor: | Sobolev [ 06 mai 2014, 09:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Re: Re: Re: Re: |
Bom dia, Repare que |Q| é um número real, pelo que a passagem que refere corresponde simplesmente a colocar todos os termos no lado esquerdo da equação e pôr \(|Q|^2\) em evidência. Claro que o método que refere também resolve o problema... Multiplicando duas vezes pela inversa conclui que Q = -2I, cujo determinante é \((-2)^4 = 16\). |
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