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Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
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Autor:  Marcus VS Ferreira [ 20 mai 2014, 18:37 ]
Título da Pergunta:  Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
Boa tarde,

Tenho uma dúvida que caso possível, gostaria que fosse sanada.

Tenho uma matriz \(i \times j\), onde \(i=j\), e eu necessito que o somatório da linha 1 seja igual ao somatório da coluna 1, o somatório da linha 2 seja igual ao somatório da coluna 2, e assim sucessivamente. No entanto minha matriz não está desse jeito, há algum processo iterativo para que possa transformá-la e deixá-la assim?

Grato,
Autor:  João P. Ferreira [ 20 mai 2014, 19:51 ]
Título da Pergunta:  Re: Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
pergunta algo complexa, vc tem uma matriz quadrada de lado \(i=j=n\)

\(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\)

para o primeiro caso tem:

\(\sum_{i=1}^n a_{1i}=\sum_{i=1}^n a_{i1}\\ \\ \sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{i1})=0\)

para o caso geral fica com um sistema de equações

\(\left\{\begin{matrix} \sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{i1})=0\\ \sum_{i=1}^n( a_{2i}-a_{i2})=0\\ \ \\ ... \\ \ \\ \sum_{i=1}^n( a_{ni}-a_{in})=0 \end{matrix}\right.\)

sugiro-lhe que comece com matrizes pequenas, tipo 2x2 ou 3x3 para ver no que dá, assim de repente não estou a ver como resolver essa equação
Autor:  João P. Ferreira [ 20 mai 2014, 20:07 ]
Título da Pergunta:  Re: Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
refletindo um pouco mais, do sistema de equações tira que

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{i1})= \sum_{i=1}^n( a_{2i}-a_{i2})=0\)

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{2i}-a_{i1} +a_{i2})=0\)

também sabe que

\(\sum_{i=1}^n( a_{3i}-a_{i3})=0\)

logo

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{2i}-a_{3i} -a_{i1} +a_{i2}+a_{i3})\)

que por sua vez é igual a \(\sum_{i=1}^n( a_{ni}-a_{in})=0\)

generalizando

\(\sum_{i=1}^n( (a_{1i}-a_{2i}-a_{3i} ...... -a_{ni}) + (-a_{i1} +a_{i2} +a_{i3} +...+a_{in}))=0\)

\(\sum_{i=1}^n( a_{1i}-a_{2i}-a_{3i} ...... -a_{ni}) = \sum_{i=1}^n (a_{i1} -a_{i2}-a_{i3} ...-a_{in})\)

estou perdido...
Autor:  Sobolev [ 20 mai 2014, 20:32 ]
Título da Pergunta:  Re: Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
Caro Marcus,

Pode ser um pouco mais claro na sua pergunta? Qual é o objectivo? É construir uma matriz que verifique essas condições? Se for assim basta escolher qualquer matriz simétrica.
Autor:  Marcus VS Ferreira [ 20 mai 2014, 20:49 ]
Título da Pergunta:  Re: Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
Sobolev,

Eu trabalho na área de engenharia, eu preciso de montar uma matriz cuja soma da linha i a seja igual a soma da coluna i e para isso eu tenho uma matriz-base, que está "desbalanceada", em que essa sentença não é verdade, eu preciso de um processo iterativo que vá diminuindo o erro até o ajuste. Como você disse, é comum utilizar matrizes simétricas nesse caso, mas não é o mais adequado. De qualquer forma obrigado.

João P. Ferreira,

Realmente eu pensei nessa hipótese que você mostrou, e tentei até um código em vba para resolver, mas não consegui fazer.
De qualquer forma obrigado.
Autor:  João P. Ferreira [ 20 mai 2014, 22:17 ]
Título da Pergunta:  Re: Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
Caro Marcus

No seguimento da sugestão do caro amigo Sobolev, o considerando o seu problema, basta ir adaptando os valores da sua matriz através de métodos iterativos até se aproximarem de uma matriz simétrica, ou seja faça \(a_{ij}\) aproximar-se de \(a_{ji}\) e vice-versa, ou melhor faça ambos aproximarem-se da sua média.
Autor:  Sobolev [ 21 mai 2014, 12:02 ]
Título da Pergunta:  Re: Matrizes com Somatório da linha i igual ao da coluna i
Marcus,

O que é importante é saber qual o tipo de operações que está disposto a realizar sobre a matriz base. Se apenas está disposto e realizar trocas de linhas e colunas pode formular o problema do âmbito da programação linear.
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