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| Sistemas lineares para solucoes variadas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=6439 |
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| Autor: | alinepele [ 05 jul 2014, 21:51 ] |
| Título da Pergunta: | Sistemas lineares para solucoes variadas |
Considere o sistema linear AX = Y , onde A=\(\begin{bmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & 1 & (a^2-17) \end{bmatrix}\) Y=\(\begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ a+2 \\ \end{bmatrix}\) (a) Determine os valores de a para que o sistema linear tenha solucao unica. (b) Existem valores de a para os quais o sistema linear tem infinitas solucoes? (c) Existem valores de a para os quais o sistema linear nao tem solucao? |
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| Autor: | PedroCunha [ 06 jul 2014, 01:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistemas lineares para solucoes variadas |
Olá, alinepele. Seja \(x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\). Da multiplicação de matrizes, temos: \(\begin{cases} x-2y-3z = -4 \\ 3x-y+5z = 2 \\ x+y + (a^2-17)z = a+2\end{cases}\) Façamos alguns cálculos auxiliares. Pela regra de Cramer: \(\circ D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & 1 & (a^2-17) \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \therefore D = 5a^2 -112 \\\\ \circ D_x = \begin{vmatrix} -4 & - 2 & 3 \\ 2 & -1 & 5 \\ (a+2) & 1 & (a^2-17) \end{vmatrix} \begin{matrix} -4 & -2 \\ 2 & -1 \\ (a+2) & 1 \end{matrix} \therefore D_x = 8a^2-13a-148 \\\\ \circ D_y = \begin{vmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & (a+2) & (a^2+17) \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & -4 \\ 3 & 2 \\ 1 & (a+2) \end{matrix} \therefore D_y = 14 \cdot (a^2-a-20) \\\\ \circ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & (a+2) \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \therefore D_z = 5a-12\) Letra a: Basta termos \(D \neq 0\). Assim: \(a \neq \pm 4 \cdot \sqrt{\frac{7}{5}}\) Letra b: Devemos ter \(D = D_x = D_y = D_z = 0\). Assim: \(\begin{cases} D = 0 \therefore a = \pm 4 \cdot \sqrt{\frac{7}{5}} \\\\ D_x = 0 \therefore a = \frac{13 \pm 3\sqrt{545}}{16} \\\\ D_y = 0 \therefore a = -4 \text{ ou } a = 5 \\\\ D_z = 0 \therefore a = \frac{12}{5} \end{cases}\). Como não existe valor de \(a\) que satisfaça as 4 equações simultaneamente, o sistema nunca terá infinitas soluções. Letra c: Devemos ter \(D = 0, D_x \neq 0, D_y \neq 0, D_z \neq 0\). Pela letra b, vemos que isso ocorre para \(a = \pm 4 \cdot \sqrt{\frac{7}{5}}\) Creio que seja isso. Att., Pedro |
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| Autor: | alinepele [ 06 jul 2014, 01:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Sistemas lineares para solucoes variadas |
Muito obrigada! |
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