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Olá, alinepele.
Seja \(x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\). Da multiplicação de matrizes, temos:
\(\begin{cases} x-2y-3z = -4 \\ 3x-y+5z = 2 \\ x+y + (a^2-17)z = a+2\end{cases}\)
Façamos alguns cálculos auxiliares.
Pela regra de Cramer:
\(\circ D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & 1 & (a^2-17) \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \therefore D = 5a^2 -112 \\\\ \circ D_x = \begin{vmatrix} -4 & - 2 & 3 \\ 2 & -1 & 5 \\ (a+2) & 1 & (a^2-17) \end{vmatrix} \begin{matrix} -4 & -2 \\ 2 & -1 \\ (a+2) & 1 \end{matrix} \therefore D_x = 8a^2-13a-148 \\\\ \circ D_y = \begin{vmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & (a+2) & (a^2+17) \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & -4 \\ 3 & 2 \\ 1 & (a+2) \end{matrix} \therefore D_y = 14 \cdot (a^2-a-20) \\\\ \circ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & (a+2) \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \therefore D_z = 5a-12\)
Letra a:
Basta termos \(D \neq 0\). Assim: \(a \neq \pm 4 \cdot \sqrt{\frac{7}{5}}\)
Letra b:
Devemos ter \(D = D_x = D_y = D_z = 0\). Assim:
\(\begin{cases} D = 0 \therefore a = \pm 4 \cdot \sqrt{\frac{7}{5}} \\\\ D_x = 0 \therefore a = \frac{13 \pm 3\sqrt{545}}{16} \\\\ D_y = 0 \therefore a = -4 \text{ ou } a = 5 \\\\ D_z = 0 \therefore a = \frac{12}{5} \end{cases}\).
Como não existe valor de \(a\) que satisfaça as 4 equações simultaneamente, o sistema nunca terá infinitas soluções.
Letra c:
Devemos ter \(D = 0, D_x \neq 0, D_y \neq 0, D_z \neq 0\). Pela letra b, vemos que isso ocorre para \(a = \pm 4 \cdot \sqrt{\frac{7}{5}}\)
Creio que seja isso.
Att.,
Pedro
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"Viver, e não ter a vergonha de ser feliz"
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