Area de um triangulo usando matriz

[Diego_Correa]

Sabendo que a área de um triângulo é dado pela fórmula \(A=\frac{b*h}{2}\) onde b é a base a h a altura do triângulo, mostre que a área de um triângulo é equivalente a seguinte equação:

\(Area=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} a&b &1 \\ c&d &1 \\ e&f &1 \end{bmatrix}\)

Onde A(a,b) B(c,d) e C(e,f) são vétices do triângulo

[Rui Carpentier]

Calculo que queira dizer que a área é igual um meio do módulo do determinante da matriz e não a um meio da matriz:
\(\mbox{area}=\frac{1}{2}\left|\det\left(\begin{matrix}a&b&1\\c&d&1\\e&f&1\end{matrix}\right)\right|\)

Note que o módulo deste determinante dá o volume do paralelopípedo gerado pelos vetores (a,b,1), (c,d,1) e (e,f,1). Este também pode ser calculado como sendo a área do paralelograma gerado por (a,b,1) e (c,d,1) vezes a altura h perpendicular a esse paralelograma.
Consideremos agora o tetraedro com vértices em (0,0,0), (a,b,1), (c,d,1) e (e,f,1). O seu volume é dado por um terço da área de uma das faces vezes a altura perpendicular a essa face. Se tomarmos a face com vértices em (0,0,0), (a,b,1) e (c,d,1) temos que a sua área é metade da do paralelograma gerado por (a,b,1) e (c,d,1) e a altura perpendicular é a mesma que a do cálculo do volume do paralelopípedo, logo o volume do tetraedro é um sexto do volume do paralelopípedo. Por outro lado, se tomarmos a face com vértices em (a,b,1), (c,d,1) e (e,f,1), temos que o volume do tetraedro é igual a um terço da área do triângulo com vértices em (a,b), (c,d) e (e,f) vezes a altura que é 1. Logo temos a igualdade:

\(\frac{1}{3}\mbox{area do triangulo}=\frac{1}{6}\left|\det\left(\begin{matrix}a&b&1\\c&d&1\\e&f&1\end{matrix}\right)\right|\)

donde sai o resultado pretendido.

[PedroCunha]

Olá.

Seja A o vértice do topo e B e C os vértices da base.

Vamos encontrar a reta BC:

\(m = \frac{f-d}{e-c} \rightarrow y -f = \frac{f-d}{e-c} \cdot (x-e) \therefore ye - yc - ef + cf = xf - ef - xd + ed \therefore x \cdot (f-d) + y \cdot (c-e) + (ed - cf)\)

A altura é igual a distância de A a reta BC:

\(h = \frac{|a \cdot (f-d) + b \cdot (c-e) + (ed-cf)|}{\sqrt{(f-d)^2 + (c-e)^2}}\)

A base é igual a distância entre B e C:

\(b = \sqrt{(f-d)^2 + (e-c)^2}\)

Sendo a área de um triângulo dada por \(\frac{b \cdot h}{2}\), temos:

\(S = \frac{a \cdot (f-d) + b \cdot (c-e) + (ed-cf)}{2} \therefore S = \frac{af - ad + bc - be + ed-cf}{2}\)

Desenvolvendo o determinante:

\(S = \frac{\begin{vmatrix} a & b & 1 \\ c & d & 1 \\ e & f & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ e &f \end{matrix}}{2} \therefore S = \frac{ad + be + cf - ed - af - bc}{2} \therefore S = -\frac{af-ad+bc-be+ed-cf}{2}\)

A fórmula correta é \(S = \frac{\left| \begin{vmatrix} x_a & y_a & 1 \\ x_b & y_b & 1 \\ x_c & y_c & 1 \end{vmatrix} \right|}{2}\), isto é, existe um módulo. De tal forma que, \(S = \frac{\left| - (af-ad+bc-be+ed-cf) \right|}{2} \Leftrightarrow S = \frac{af-ad+bc-be+ed-cf}{2},C.Q.D.\)

Att.,
Pedro

[Rui Carpentier]

Olá.

(...)

A altura é igual a distância de A a reta BC:

\(h = \frac{|a \cdot (f-d) + b \cdot (c-e) + (ed-cf)|}{\sqrt{(f-d)^2 + (c-e)^2}}\)

A base é igual a distância entre B e C:

\(b = \sqrt{(f-d)^2 + (e-c)^2}\)

Sendo a área de um triângulo dada por \(\frac{b \cdot h}{2}\), temos:

\(S = \frac{a \cdot (f-d) + b \cdot (c-e) + (ed-cf)}{2} \therefore S = \frac{af - ad + bc - be + ed-cf}{2}\)

(...)
Pedro

Só uma pequena correção: a fórmula do S já leva aqui um módulo (que vem do h).

[PedroCunha]

Opa. É verdade!

Valeu pela correção!