Matriz invertivel
27 nov 2011, 21:43
Boa noite,
Penso que a matriz que está em anexo é invertivel, mas não consigo encontrar nenhum exemplo com frações para poder perceber melhor como fazer.
Alguém me pode ajudar?
Obrigado.
Penso que a matriz que está em anexo é invertivel, mas não consigo encontrar nenhum exemplo com frações para poder perceber melhor como fazer.
Alguém me pode ajudar?
Obrigado.
- Anexos
-
Re: Matriz invertivel
28 nov 2011, 01:20
Meu caro
Basta fazer eliminação de Gauss, se ficar com alguma linha ou alguma coluna a zeros, é porque não é invertível
Ou seja significa que a característica da matriz (número de linhas/colunas não nulas após eliminação de Gauss) é menor que 3, ou seja, não existe \(S^{-1}\)
Se, após eliminação de Gauss, ficar com a forma de escada normal, com nenhuma linha ou colunas a zero então é porque a matriz é invertível
Cumprimentos
Basta fazer eliminação de Gauss, se ficar com alguma linha ou alguma coluna a zeros, é porque não é invertível
Ou seja significa que a característica da matriz (número de linhas/colunas não nulas após eliminação de Gauss) é menor que 3, ou seja, não existe \(S^{-1}\)
Se, após eliminação de Gauss, ficar com a forma de escada normal, com nenhuma linha ou colunas a zero então é porque a matriz é invertível
Cumprimentos
Re: Matriz invertivel
28 nov 2011, 14:23
Boa tarde,
Estive a ver vários exemplos de resolução pelo método de gauss, e tem a ver com a questão de fazer as operações para passar a matriz de identidade da direita para a esquerda, e assim saber a matriz invertivel, mas com este exemplo de frações não estou a conseguir.
Acho que já tentei tanta coisa que agora já não consigo olhar para esta matriz de forma diferente.
Obrigado na mesma.
Abraço
Estive a ver vários exemplos de resolução pelo método de gauss, e tem a ver com a questão de fazer as operações para passar a matriz de identidade da direita para a esquerda, e assim saber a matriz invertivel, mas com este exemplo de frações não estou a conseguir.
Acho que já tentei tanta coisa que agora já não consigo olhar para esta matriz de forma diferente.
Obrigado na mesma.
Abraço
Re: Matriz invertivel
28 nov 2011, 15:36
Meu caro
\(det{S}=det{
\begin{matrix}
1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5
\end{matrix}
}=\frac{1}{2160} \ \neq \ 0\)
Cálculo feito aqui
Como é diferente de zero, tem inversa, e pode usar a eliminação de Gauss-Jordan para calcular a inversa
Tem de começar com algo do género
\(\[\begin{matrix}
1 & 1/2 & 1/3 \!& | &\! 1 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \!& | &\! 0 & 1 & 0 \\
1/3 & 1/4 & 1/5 \!& | &\! 0 & 0 & 1
\end{matrix}\]\)
Comece por exemplo por multiplicar a primeira linha por 6, a segunda linha por 12 e a terceira por 60.
Fica então
\(\[\begin{matrix}
6 & 3 & 2 \!& | &\! 6 & 0 & 0 \\
6 & 4 & 3 \!& | &\! 0 & 12 & 0 \\
20 & 15 & 12 \!& | &\! 0 & 0 & 60
\end{matrix}\]\)
Agora já não tem fracções... é só resolver normalmente...
Lembre-se que terá de ter do lado esquerdo a matriz identidade
Veja esta página
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Jordan_elimination
Cumprimentos
\(det{S}=det{
\begin{matrix}
1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5
\end{matrix}
}=\frac{1}{2160} \ \neq \ 0\)
Cálculo feito aqui
Como é diferente de zero, tem inversa, e pode usar a eliminação de Gauss-Jordan para calcular a inversa
Tem de começar com algo do género
\(\[\begin{matrix}
1 & 1/2 & 1/3 \!& | &\! 1 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \!& | &\! 0 & 1 & 0 \\
1/3 & 1/4 & 1/5 \!& | &\! 0 & 0 & 1
\end{matrix}\]\)
Comece por exemplo por multiplicar a primeira linha por 6, a segunda linha por 12 e a terceira por 60.
Fica então
\(\[\begin{matrix}
6 & 3 & 2 \!& | &\! 6 & 0 & 0 \\
6 & 4 & 3 \!& | &\! 0 & 12 & 0 \\
20 & 15 & 12 \!& | &\! 0 & 0 & 60
\end{matrix}\]\)
Agora já não tem fracções... é só resolver normalmente...
Lembre-se que terá de ter do lado esquerdo a matriz identidade
Veja esta página
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Jordan_elimination
Cumprimentos