Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ola amigos,

Sou novo neste forum, e agradeço desde já todas as ajudas para a minha presente e futuras questões.

O exercício diz o seguinte:

Determine os coeficientes a, b, c, e d da seguinte função:
\(f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d\)

sabendo que: \(f(1)=-1; f(2)=9; f(-2)=17\)

e que f admite um extremo em \(-\frac{5}{3}\)

Resolução:

\(f(1)=a + b + c + d=-1\)
\(f(2)=8a + 4b + 2c + d=9\)
\(f(-2)=-8a + 4b - 2c + d=17\)

Sabendo que f admite um extremo em \(-\frac{5}{3}\);
\(f'(-\frac{5}{3})=0\)

\(f'(-\frac{5}{3})=25a - 10b + 3c= 0\)

Obtenho 4 equações
\(a + b + c + d=-1\)
\(8a + 4b + 2c + d=9\)
\(-8a + 4b - 2c + d=17\)
\(25a - 10b + 3c= 0\)

Utilizando o método de Gauss.

\(a + b + c + d=-1 (L1)\)
\(8a + 4b + 2c + d=9 (L2)\)
\(-8a + 4b - 2c + d=17 (L3)\)
\(25a - 10b + 3c= 0 (L4)\)

\(a + b + c + d=-1 (L1)\)
\(- 4b - 6c - 7d=17 (L2\leftarrow L2 -8L1)\)
\(12b + 6c + 9d=9 (L3\leftarrow L3 +8L1)\)
\(-35b - 22c - 25d=25 (L4\leftarrow L4 - 25L1)\)

A partir deste ponto, tentei varias hipóteses mas sempre em vão, gostaria de contar com a vossa ajuda.

Obrigado antecipado

Flaviano

Meu caro, estou pensando...

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Boa noite meu caro

Está perante um sistema linear \(Ax=b\)

em que

\(A=\[
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
8 & 4 & 2 & 1 \\
-8 & 4 & -2 & 1 \\
25 & -10 & 3 & 0
\end{matrix}\]\)

\(x=\[
\begin{matrix}
a \\
b \\
c \\
d
\end{matrix}\]\)

\(b=\[
\begin{matrix}
-1 \\
9 \\
17 \\
0
\end{matrix}\]\)

\(det{A}=276 \neq 0\)

Veja aqui o cálculo

Ou seja a matriz A tem inversa (determinante diferente de zero) e a solução é

\(x=A^{-1}b\)


Em relação à eliminação de Gauss deve estar a fazer alguma conta errada

Mas isto ainda dá muitas contas, ora vejamos:

\(\[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
8 & 4 & 2 & 1 \!& | &\! 9 \\
-8 & 4 & -2 & 1 \!& | &\! 17 \\
25 & -10 & 3 & 0\!& | &\! 0
\end{matrix}\] \rightarrow \[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
0 & -4& -6 & -7 \!& | &\! 17 \\
0 & 12 & 6 & 9 \!& | &\! 9 \\
0 & -35 & -22 & -25\!& | &\! 25
\end{matrix}\] \rightarrow \[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
0 & 420 & 630 & 735 \!& | &\! -1785 \\
0 & 420 & 210 & 315 \!& | &\! 315 \\
0 & 420 & 264 & 300\!& | &\! -300
\end{matrix}\] \rightarrow \[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
0 & 420 & 630 & 735 \!& | &\! -1785 \\
0 & 0 & 420 & 420 \!& | &\! -2100 \\
0 & 0 & 366 & 435\!& | &\! -1485
\end{matrix}\] \rightarrow \[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
0 & 420 & 630 & 735 \!& | &\! -1785 \\
0 & 0 & 153720 & 153720 \!& | &\! -768600 \\
0 & 0 & 153720 & 182700 \!& | &\! -623700
\end{matrix}\]\rightarrow
\rightarrow \[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
0 & 420 & 630 & 735 \!& | &\! -1785 \\
0 & 0 & 153720 & 153720 \!& | &\! -768600 \\
0 & 0 & 0 & -28980 \!& | &\! -144900
\end{matrix}\]\\)

Já está em forma de escada, agora é só fazer as contas

Presumo que esteja certo, fui só achando os mínimos múltiplos comuns nas diferentes linhas para não ter que lidar com frações..

O resultado é \(a=2 \ b=2 \ c=-10 \ d=5\)

Veja o resultado aqui

Se não quisesse fazer eliminação de Gauss que dava muita conta tinha que tentar mesmo calcular a inversa de A ou pelo método de Gauss-Jordan ou pela adjunta

\({A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \cdot \mbox{adj(A)}\)

Talvez fosse mais fácil...

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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Muito obrigado pela resposta...

O resultado é convincente, apesar de que na tua resolução os métodos me são estranhos por culpa da minha escola.
O meu curso foi simplificada em excesso o que me dificulta imenso na resolução dos meus exercícios.

Amanha estarei analisando a resposta com mais tranquilidade.

Mais uma vez obrigado pela ajuda.

Flaviano

De nada caro Flaviano

Volta sempre

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O método de eliminação de Gauss que usei é igual ao que estavas a usar, mas neste é mais simples pois colocamos apenas os fatores (sem a,b,c,d) numa matriz e no lado direito da matriz colocamos os elementos de b (elementos constantes)... De resto é tudo igual

Volta sempre

Cumprimentos

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Outra técnica que poderia ser usada, estou a reparar agora, que por certo facilitaria muito as contas, era trocar a ordem das colunas, ou seja, era começar por eliminar em vez dos termos em 'a', começar por eliminar os termos em 'd', pois a quarta coluna é apenas zeros e uns.

Ou seja resolver desta forma:

\(\[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
8 & 4 & 2 & 1 \!& | &\! 9 \\
-8 & 4 & -2 & 1 \!& | &\! 17 \\
25 & -10 & 3 & 0\!& | &\! 0
\end{matrix}\] \rightarrow \[\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 \!& | &\! -1 \\
1 & 2 & 4 & 8 \!& | &\! 9 \\
1 & -2 & 4 & -8 \!& | &\! 17 \\
0 & 3 & -10 & 25\!& | &\! 0
\end{matrix}\]\)

Quando fazemos estas oprações de troca de colunas, no fim quando decompomos temos de ter atenção à ordem das variáveis

Lembre-se então que no fim quando fosse a decompor que a ordem em vez e ser (a,b,c,d) era (d,c,b,a)

Já estive por alto a ver e assim facilitava muito as contas

Cumprimentos

Volte sempre

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Ola sr, ou professor João se me permite...

Quero expressar, em poucas palavras a minha agradável surpresa em poder contar com o vosso forum.
Como referi na minha primeira mensagem, sou quase novato no mundo dos forums, e espero não só aprender mas também de poder aportar seja o que for de bom a este forum.

Agora, sobre o exercício em estudo, tenho algumas duvidas e gostaria de obter esclarecimentos na medida do possível.

1) Gostaria de saber si é correcto utilizar os termos por descrito que acompanham as equações?
2) Tambem si é correcto passar pelas faces indicadas?


\(\left[\begin{array}{cccc} a+b+c+d=-1 (L1) \\ -4b-6c-7d=17 (L2 \leftarrow\ L2-8L1) \\ 12b+6c+9d=9 (L3 \leftarrow L3+8L1) \\ -35b-22c-25d=25 (L4 \leftarrow L4-25L1) \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{cccc} a+b+c+d=-1 \\ 420b+630c+735d=-1785 (-105L2) \\ -420b-210c-315d=-315 (-35L3) \\ -420b-264c-300d=300 (12L4) \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{cccc} a+b+c+d=-1 \\ 420b+630c+735d=-1785 \\ 420c+420d=-2100 (L3 \leftarrow L3+L2) \\ 366c+435d=-1485 (L4 \leftarrow L4+L2) \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{cccc} a+b+c+d=-1 \\ 420b+630c+735d=-1785 \\ -153720c-153720d=768600 (-366L3) \\ 153720c+182700d=-623700 (420L4) \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{cccc} a+b+c+d=-1 \\ 420b+630c+735d=-1785 \\ -153720c-153720d=768600 \\ 28980d=144900 (L4\leftarrow L4+L3) \end{array}\right]\)

Optei por este modelo de resolução porque é o que esta referenciado na minha matéria, mas também tenho apreciado a outra forma de resolução que me parecem boas.

Obrigado

Flaviano

Boa tarde caro Flaviano

Não confirmei passo por passo, conta por conta, mas sim parece-me estar correcto.

O método que utiliza, também é aceitável, assim como o que eu usei, são apenas duas representações diferentes de fazer a eliminação de Gauss. Naquele que apresentei, é exatamente igual, mas simplesmente não apresentamos as incógnitas, ou seja, repare que por exemplo:

\(\begin{cases} x+y=3 \\ -2x+4y=6 \end{cases}\)

pode ser escrito nesta forma matricial:

\(A.X=b\)

\(\[
\begin{matrix}
1 & 1 \\
-2 & 4 \\
\end{matrix}\].\[\begin{matrix}
x \\
y \\
\end{matrix}\]=\[\begin{matrix}
3 \\
6 \\
\end{matrix}\]\)

que simplificando a representação pode ser escrito desta forma:

\(\[
\begin{matrix}
1 & 1 & | & 3\\
-2 & 4 & | & 6 \\
\end{matrix}\]\)

E agora procedemos à eliminação de Gauss tal como faz no seu caso, ou seja tentando eliminar o termo 'x' na segunda linha. ou seja neste caso tentanto colocar o sistema em escada.

\((L_{2} \leftarrow 2L_{1}+L{2})\)

\(\[
\begin{matrix}
1 & 1 & | & 3\\
0 & 6 & | & 12 \\
\end{matrix}\]\)

e estando em forma de escada (ou seja zeros abaixo da diagonal da matriz A) podemos desmontar novamente

\(\begin{cases} x+y=3 \\ 6y=12 \end{cases}\)

\(y=\frac{12}{6}=2 \\
\\
x+2=3 \\ x=1\)

Este exemplo é muito simples, mas pode ser aplicado a qq dimensão de sistemas lineares com um número qualquer de incógnitas (4 no seu caso)...

A forma que utiliza para calcular também é válida e aceite...

No seu caso, para o exemplo que apresentou, recomendo-lhe que em vez de começar por eliminar as variáveis em 'a', comece por eliminar as variáveis em 'd' pois torna-se muito mais simples e com números menos chatos de trabalhar

Cumprimentos e é sempre bem-vindo por aqui

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