Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Caros Amigos.
Goataria que me ensinassem a resolver este sistema de equações 4 x 4.
Se não der muita massada agradecia que me explicassem tim tim por tim tim, step by step, passo a passo, slow moving, como se fazem as matrices, com se fazem as contas dentro delas, com se reduz, como se eliminam, como aparecem os zeros etc.
O sistema é este:
2x -3y +z +4w = 0
3x +y -5z -3w = - 10
6x +2y -z +w = - 3
x +5y +4z -3w =- 6
Votos de Boas Festas para todos
Americo Serrano

Caro membro do fórum

Um sistema linear como o que apresenta pode ser simplificado da seguinte forma

\(Ax=b\)

Em que \(A\) é uma matriz 4x4 e \(x\) e \(b\) são vetores 4x1

Assim no seu caso

\(A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & -5 & -3 \\ 6 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 5 & 4 & -3 \end{bmatrix}\)

\(x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}\ \\), \(\ \ b = \begin{bmatrix} 0 \\ -10 \\ -3 \\ -6 \end{bmatrix}\)

O sistema pode então ser simplificado e usando o método de Gauss podemos ir eliminado alguns números para que o sistema fica na forma de escada

\(\left[ \begin{array}{cccc|c}
2 & -3 & 1 & 4 & 0 \\
3 & 1 & -5 & -3 & -10 \\
6 & 2 & -1 & 1 & -3 \\
1 & 5 & 4 & -3 & -6 \\
\end{array}\right]\)

Vamos trocar a última linha com a primeira, pois dá-nos jeito que o pivô seja 1 (o pivô neste caso é o número no canto superior esquerdo)

\(\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & -3 & -6 \\
3 & 1 & -5 & -3 & -10 \\
6 & 2 & -1 & 1 & -3 \\
2 & -3 & 1 & 4 & 0 \\
\end{array}\right]\)

Agora tem que colocar todos os elementos (números) abaixo do pivô a zeros.
Para fazê-lo, no caso da segunda linha que começa com um 3, vai ter de multiplicar a primeira linha por (-3) e somar à segunda linha. Vai fazer o mesmo para a terceira e quartas linha, mas com um (-6) e com um (-2) respetivamente. Assim fica

\(\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & -3 & -6 \\
0 & -14 & -17 & 6 & 8 \\
0 & -28 & -25 & 19 & 33 \\
0 & -13 & -7 & 10 & 12 \\
\end{array}\right]\)

Pode por exemplo agora multiplicar as linhas por (-1) para trocar os sinais ficando

\(\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & -3 & -6 \\
0 & 14 & 17 & -6 & -8 \\
0 & 28 & 25 & -19 & -33 \\
0 & 13 & 7 & -10 & -12 \\
\end{array}\right]\)

O processo agora é semelhante, o pivô agora é o 14 e tem que colocar os elementos abaixo do 14 a zeros (28 e 13)

Se tiver dúvidas diga

Boas festas

_________________
João Pimentel Ferreira
 
_{Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

O processo agora é semelhante, o pivô agora é o 14 e tem que colocar os elementos abaixo do 14 a zeros (28 e 13)

Se tiver dúvidas diga

Boas festas


_________________
João Pimentel Ferreira


Amigo João pimentel
Fiquei muito triste porque o meu amigo não seguiu as minhas instruções. Se ler o e-mail original eu pedia-lhe encarecidamente que me resolvessem a equação ao ralenti , step by step para eu perceber tudo, mas não o meu amigo falou-me do pivô 14 e deixou tudo para eu resolver (o resto) como eu já percebesse o metodo. Sim percebi o que fez atraz, mas o meu amigo havia de fazer com calma bem explicado com exemplos ao lado da matrix.
Por exemplo na matriz:
1 5 4 -3 -6
0 -14 -17 6 8
0 -28 -25 19 33
0 -13 -7 10 12

Aqui o meu amigo devia fazer ao lado como se fazem as contas exemplificando ou seja explicar como aparecem o -14 -17 -28 -25 19 33 -13 -7 10 12 etc.

Na matrix abaixo a mesma coisa e não deixar para o desgraçado resolver.
Sr. Pimentel por favor ajude-me pois este processo é complicado.
Ajude-me como eu fosse seu aluno e você meu explicador
Um abraço
Americo Serrano

Caro amigo

Explicar-lhe-ei tudo o que necessitar, mas antes de mais tem de compreender algo: isto é um fórum de dúvidas, não é uma plataforma para aulas virtuais. Se quiser aprender a fazer eliminação de Gauss-Jordan encontra na rede vários vídeos que o ensinam.

Veja esta hiper-ligação por favor

Em relação á sua pergunta, e ao passo específico que faz alusão:

\(\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & -3 & -6 \\
3 & 1 & -5 & -3 & -10 \\
6 & 2 & -1 & 1 & -3 \\
2 & -3 & 1 & 4 & 0 \\
\end{array}\right]\)

Quando a matriz não tem zeros, como é o caso, o pivô é o que está no canto superior esquerdo. É o \(1\) neste caso.
Interessa sempre que o pivô seja 1.

Agora veja bem meu caro, ouça com atenção. Se multiplicar toda a primeira linha por \(-3\) e somar à segunda linha e substituindo na segundo linha fica com o quê?

Repare que a primeira linha é \([1 \ 5 \ 4 \ -3 \ -6]\). Vamos então multiplicar esta linha toda por \(-3\), ou seja \(1\times(-3)\) e por aí em diante, o que dá \([1\times(-3) \ 5\times(-3) \ 4\times(-3) \ -3\times(-3) \ -6\times(-3)] = [-3 \ -15 \ -12 \ 9 \ 18]\)

Se somar agora esta linha \([-3 \ -15 \ -12 \ 9 \ 18]\) com a segunda linha da matriz que é \([3 \ 1 \ -5 \ -3 \ -10]\) ficamos com:

\([-3 \ -15 \ -12 \ +9 \ +18]\)
\([+3 \ +1 \ \ -5 \ \ -3 \ -10]\)
_________________________
\([0 \ \ -14 \ \ -17 \ +6 \ +8]\)

A segunda linha fica então \([0 \ -14 \ -17 \ 6 \ 8]\)

Este passo de multiplicar a primeira linha por \((-3)\) e somar o resultado à segunda linha, colocando tudo na segunda linha é representado na seguinte forma:

\((-3)\times L_1+L_2 \rightarrow L_2\)

O mesmo processo pode ser aplicada para a terceira e quarta linhas resultando no seguinte

\(\left[ \begin{array}{cccc|c}
1 & 5 & 4 & -3 & -6 \\
0 & -14 & -17 & 6 & 8 \\
0 & -28 & -25 & 19 & 33 \\
0 & -13 & -7 & 10 & 12 \\
\end{array}\right]\)

Espero que tenha entendido agora este passo. Basta perceber um passo, o resto é sempre o mesmo.

E como diz o velho ditado Chinês, "Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar".
Não lhe vou resolver o problema, mas posso ajudá-lo a entender como se resolve, para que assim o desgraçado saiba resolver os próximos por si.

E acredite meu caro, sem esforço, não há ganho!

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Amigo Pimentel.
Sim senhor, aqui está um bom exemplo de como se ajuda quem não sabe.
È que nos youtubes desenvolvem o problema de gauss muito á pressa e não dá para perceber as contas.
Agora o meu amigo foi mais alem e explicou tudo direitinho.
Peço desculpa se o ofendi, mas a minha atitude não foi das melhores.
Agora é mais facil resolver o GAUSS.
O seu link tambem ajudou muito e agora no youtube é mais facil compreender o que os professores fazem.
Aproxima-se o NATAL que em portugal nem lembra devido á crise de fome que passa o pais com roubos no subsidio de natal e ferias.
Este governo do PSD que governa portugal tem levado o pais para a miseria.
È o brasil, china e alemanha que nos vão comprar as empresas de energia, petrolio, bancos etc (privatizar)
Os professores , engenheiros, medicos etc estãqo todos a emigrar para Angola e moçambique e brasil.
Antigamente o meu vencimento dava para viver á grande e á francesa e agora com a entrada do EURO não chega para nada.
Desejo-lhe um feliz natal um bom ano de 2012 e que seja muito feliz.
Americo Serrano

Caro amigo

Desejo-lhe então também a si um Santo Natal e um próspero 2012

Com os melhores cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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