Solução geral de um sistema como combinação linear

[GrangerObliviate]

Alguém me consegue explicar como devo exprimir a solução geral de um sistema como combinação linear?

(P.S. Apenas preciso de uma das alíneas, depois consigo fazer as restantes )

EDIT: Também estou com dificuldade em perceber como se faz a escolha das incógnitas livres...

Anexos

Captura de ecrã 2015-10-9, às 17.06.56.png (79.96 KiB) Visualizado 1859 vezes

[Sobolev]

Veja por exemplo a primeira alínea. Subtraindo à terceira linha a primeira, obtem uma matriz em escada. Daí conclui imediatamente que a característica de A é 2 (número de linhas não nulas após redução a matriz em escada de linhas). Para o sistema ser possível, a característica da matrix aumentada deve ser igual à característica de A, isto é, r(A) = r(A|b) e, para que isso suceda, o vector b deve verificar \(b_1=b_3\). O número de graus de liberdade será então a diferença entre o número de colunas e a característica, pelo que existem dois graus de liberdade. Neste caso pode pensar então que:

1. Pode escolher livremente o valor de duas das variáveis, ficando as restantes duas determinadas após essa escolha.
2. Qualquer solução do sistema se pode escrever como combinação linear de dois vectores fixos.

No caso, a segunda linha da matriz condensada fica \(x_2+x_3 = b_2 \Leftrightarrow x_2=b_2-x_3\). Substituindo na primeira equação fica com
\(2x_1+x_2+3x_4=b_1\Leftrightarrow 2x_1+b_2-x_3+3x_4=b_1 \Leftrightarrow x_1 =\frac 12 (b_1-b_2+x_3-3x_4)\). Pode pois escolher livremente \(x_3,x_4\), digamos \(x_3=t, x_4=s\), após o que conclui que \(x_2=b_2-x_3 = b_2-t\) e \(x_1=\frac 12 (b_1-b_2+x_3-3x_4)= \frac 12 (b_1-b_2-t-3s\)

A solução é então dada por:

\((\frac 12 b_1-\frac 12 b_2-\frac 12 t - \frac 32 s, b_2-t,t,s)=)=(\frac 12 b_1-\frac 12 b_2, b_2,0,0) + t(-\frac 12,-1,1,0) + s(-\frac 32 ,0,0,1)\)