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| Solução geral de um sistema como combinação linear https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=9633 |
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| Autor: | GrangerObliviate [ 09 Oct 2015, 17:07 ] | ||
| Título da Pergunta: | Solução geral de um sistema como combinação linear | ||
Alguém me consegue explicar como devo exprimir a solução geral de um sistema como combinação linear? (P.S. Apenas preciso de uma das alíneas, depois consigo fazer as restantes  )EDIT: Também estou com dificuldade em perceber como se faz a escolha das incógnitas livres...
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| Autor: | Sobolev [ 12 Oct 2015, 16:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Solução geral de um sistema como combinação linear |
Veja por exemplo a primeira alínea. Subtraindo à terceira linha a primeira, obtem uma matriz em escada. Daí conclui imediatamente que a característica de A é 2 (número de linhas não nulas após redução a matriz em escada de linhas). Para o sistema ser possível, a característica da matrix aumentada deve ser igual à característica de A, isto é, r(A) = r(A|b) e, para que isso suceda, o vector b deve verificar \(b_1=b_3\). O número de graus de liberdade será então a diferença entre o número de colunas e a característica, pelo que existem dois graus de liberdade. Neste caso pode pensar então que: 1. Pode escolher livremente o valor de duas das variáveis, ficando as restantes duas determinadas após essa escolha. 2. Qualquer solução do sistema se pode escrever como combinação linear de dois vectores fixos. No caso, a segunda linha da matriz condensada fica \(x_2+x_3 = b_2 \Leftrightarrow x_2=b_2-x_3\). Substituindo na primeira equação fica com \(2x_1+x_2+3x_4=b_1\Leftrightarrow 2x_1+b_2-x_3+3x_4=b_1 \Leftrightarrow x_1 =\frac 12 (b_1-b_2+x_3-3x_4)\). Pode pois escolher livremente \(x_3,x_4\), digamos \(x_3=t, x_4=s\), após o que conclui que \(x_2=b_2-x_3 = b_2-t\) e \(x_1=\frac 12 (b_1-b_2+x_3-3x_4)= \frac 12 (b_1-b_2-t-3s\) A solução é então dada por: \((\frac 12 b_1-\frac 12 b_2-\frac 12 t - \frac 32 s, b_2-t,t,s)=)=(\frac 12 b_1-\frac 12 b_2, b_2,0,0) + t(-\frac 12,-1,1,0) + s(-\frac 32 ,0,0,1)\) |
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