Como calcular a imagem, nulidade e característica de uma transformação linear

[GrangerObliviate]

Estou a ter bastante dificuldade em desenvolver um método para determinar imagem, nulidade e caraterística de uma transformação linear... Alguém me consegue ajudar, por favor.

Por exemplo, em relação à transformação:

T (x,y,z) = (x+y, y-z, 0);

[Sobolev]

A nulidade é o conjunto dos vectores (no espaço de partida) que são transformados no vector nulo (no espaço de chegada). Neste caso concreto tem que resolver o sistema \(T(x,y,z)=(0,0,0)\), isto é,

\(x+y=0
y-z=0
0=0\)

assim, devemos ter x = -y e z=y. O espaço nulo é então \(\mathcal{N}(T)=\{(x,y,z): x=-y, z=y\}\), ou seja, o conjunto dos vectores da forma \((-t, t,t), \quad t \in \mathbb{R}\).

[GrangerObliviate]

Ok, obrigado essa parte acho que consegui perceber bem... Mas e a imagem, como é que calculo?

Obrigado desde já!

[Sobolev]

A imagem é formada pelos vectores no espaço de chegada que podem ser obtidos como imagem de algum vector no espaço de partida. Se observar a expressão da transformação T, vê que a terceira componente é nula, enquanto a primeira e segunda componentes podem tomar qualquer valor real ( se tomar por exemplo y=0, não havendo restrições sobre x,z pode facilmente chegar a essa conclusão). Assim,

\(Im(T) = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z=0\}.\)