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| Proposição referente a matrizes quadradas 2x2 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=12&t=9879 |
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| Autor: | Gogo [ 15 nov 2015, 00:43 ] |
| Título da Pergunta: | Proposição referente a matrizes quadradas 2x2 |
Designa-se por centro de M2x2, e denota-se por Z(M2x2) o conjunto das matrizes 2x2 que comutam com todas as matrizes 2x2, i.e., A pertence a Z(M2x2) se, e só se, AB = BA, qualquer que seja B pertencente a M2x2 Mostre que se A, A' pertence a Z(M2x2) então AA' pertence a Z(M2x2). |
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| Autor: | Sobolev [ 16 nov 2015, 11:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Proposição referente a matrizes quadradas 2x2 |
Dado \(B\in M_{2x2}\) temos por hípótese que \(AB=BA, \quad A'B = BA'\) Então \((AA')B = A(A'B) )= A(BA') = (AB)A' = (BA)A'=B(AA').\) Vemos assim que a matriz \(AA'\) comuta com qualquer matriz 2x2, pelo que também pertence ao centro. Note que o facto de se tratar de matrizes 2x2 é irrelevante. O resultado é verdadeiro para matrizes nxn. |
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