Projeção de v em W com ortogonalização da base

[phpc91]

Não consigo de jeito nenhum chegar na resposta correta deste exercício (letra A : 18). Tentei ortogonalizar a base B, para poder fazer a igualdade w(a,b,c) = ∑ proj v em W' (com base B' ortogonal), mas mesmo assim não tive sucesso. Ajuda, por favor!

Anexos

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[Baltuilhe]

Boa noite!

Temos que encontrar o Vetor v:
\(\vec{v}=a\vec{e_1}+b\vec{e_2}+c\vec{e_3}\)

Projeção e1:
\(proj_{\vec{e_1}}\vec{v}{=}2\vec{e_1}\)
\(\frac{\<\vec{v},\vec{e_1}\>}{||\vec{e_1}||^2}\vec{e_1}{=}2\vec{e_1}\)
\(\frac{\<\vec{v},\vec{e_1}\>}{(1)^2}\vec{e_1}{=}2\vec{e_1}\)
\(<\vec{v},\vec{e_1}>{=}2\)

Projeção e2:
\(proj_{\vec{e_2}} \vec{v}=0\)
\(\frac{<\vec{v},\vec{e_2}>}{||\vec{e_2}||^2}\vec{e_2}=0\)
\(\frac{<\vec{v},\vec{e_2}>}{(\sqrt{2})^2}\vec{e_2}=0\)
\(<\vec{v},\vec{e_2}>=0\)

Projeção e3:
\(proj_{\vec{e_3}} \vec{v}=2\vec{e_3}\)
\(\frac{<\vec{v},\vec{e_3}>}{||\vec{e_3}||^2}\vec{e_3}=2\vec{e_3}\)
\(\frac{<\vec{v},\vec{e_3}>}{(\sqrt{2})^2}\vec{e_3}=2\vec{e_3}\)
\(<\vec{v},\vec{e_3}>=4\)

Fazendo a aplicação de produto interno do vetores da base B:
Assim:
\(\vec{v}=a\vec{e_1}+b\vec{e_2}+c\vec{e_3}\)

Produto pelo vetor e1:
\(<\vec{v},\vec{e_1}>=a<\vec{e_1},\vec{e_1}>+b<\vec{e_2},\vec{e_1}>+c<\vec{e_3},\vec{e_1}>\)
Faça o mesmo com e2 e e3:
\(<\vec{v},\vec{e_2}>=a<\vec{e_1},\vec{e_2}>+b<\vec{e_2},\vec{e_2}>+c<\vec{e_3},\vec{e_2}>\)
\(<\vec{v},\vec{e_3}>=a<\vec{e_1},\vec{e_3}>+b<\vec{e_2},\vec{e_3}>+c<\vec{e_3},\vec{e_3}>\)

Substituindo:
\(\begin{cases}
a-b-c=2
-a+2b+c=0
-a+b+2c=4
\end{cases}\)
Resolvendo:
a=10
b=2
c=6

Espero ter ajudado!

Editado pela última vez por Baltuilhe em 02 dez 2015, 11:32, num total de 1 vez.
Razão: alguns pequenos erros que percebi hoje cedo :)