Algebra Linear - Ajuda em exercícios de compreensão

[Heudes]

Pessoal, me ajudem por favor.
Estou recorrendo ao fórum por não entender muito bem a matéria.
Preciso de ajuda para resolver 4 exercícios de compreensão de algebra em espaço euclidiano.

são os exercícios:
1)Considere no IR², o produto interno definido por (V_1)(V_2) = 3(X_1)(X_2) + (Y_1)(Y_2), sendo V_1- (X_1, Y_1) e V_2 = (X_2,Y_2).
Em relação a esse produto interno, determinar um vetor v tal que |v| = 4, v.u = 10 e u = (1,-2)

2)No IR³, o conjunto (1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3) é ortogonal em relação ao produto interno usual? Justificar o porquê.

3)O conunto B={(1,-1),(2,b)} é uma base ortogonal do IR² em relação ao produto interno: (X_1, Y_1)(X_2,Y_2) = 2(X_1)(X_2) + (Y_1)(Y_2). Calcular o valor de b e determinar, a partir de B, uma base ortogonal.

4)Consideremos o IR³ munido do produto interno usual. Sendo v_1 = (1,2,-3), v_2= (3,-1,-1) e v_3= (2,-2,0) do IR³, determinar o vetor u tal que u.v_1 = 4 u.v_2 = 6 e u.v_3 = 2.


Me ajudem galera... não to entendendo nada nessa matéria....

[João P. Ferreira]

regra do fórum: UM exercício por pergunta

assim

1)Considere no IR², o produto interno definido por \(v_1 v_2 = 3 x_1 x_2 + y_1 y_2\) , sendo \(v_1 = (x_1, y_1)\) e \(v_2 = (x_2,y_2)\).

Em relação a esse produto interno, determinar um vetor \(v\) tal que \(|v| = 4, v.u = 10\) e \(u = (1,-2)\)

meu caro então, a norma ao quadrado é igual ao produto interno do vetor multiplicado por ele mesmo, ou seja

\(|v|^2=v.v\)

Então

\(|v|^2=v.v=3 x_1 x_1 + y_1 y_1 = 2 (x_1)^2+(y_1)^2\)

então como \(|v|^2=16\) temos

\(2 (x_1)^2+(y_1)^2=16\)


temos ainda que se \(u.v=10\) então

\(3 x_1 . 1+y_1 (-2)=10\)

\(3 x_1-2 y_1=10\)

só tem de resolver agora o sistema

\(\left\{\begin{matrix} 2 (x_1)^2+(y_1)^2=16\\ 3 x_1-2 y_1=10 \end{matrix}\right.\)

qq dúvida diga...

Cumprimentos

[Heudes]

Muito obrigado!
Ajudou muito!! =)