algebra lnear: Transformações e Espaços Lineares

[tiberiotavares]

Os problemas 1 e 2 se referem ás bases do IR²

A = {(2,-1),(-1,1)}, B = {(1,0),(2,1)}, D = {(1,1),(1,-1)} e G {(-1,-3),(3,5)}

1) Calcular \(v_{A}\) sabendo que \(v_{B}\) = (7,-1)

2) calcular \(v_{G}\) sabendo que \(v_{D}\) = (2,3)

[Baltuilhe]

Boa noite!

Para escrever um vetor em bases diferentes podemos encontrar a matriz de mudança de bases de forma a encontrar o que se pede:
1) Temos que encontrar a transformação linear que, dado um vetor na base B transforme-o em um vetor na base A.
\(T(\vec{v_B})=\vec{v_A}
T(1,0)=(2,-1)
T(2,1)=(-1,1)\)

Então, temos que encontrar uma coordenada 'genérica' na base B:
\((x,y)=a(1,0)+b(2,1)
(x,y)=(a+2b,b)
x=a+2b
y=b
b=y
a=x-2b=x-2y\)

Então:
\((x,y)=(x-2y)(1,0)+y(2,1)
T(x,y)=(x-2y)T(1,0)+yT(2,1)
T(x,y)=(x-2y)(2,-1)+y(-1,1)
T(x,y)=(2x-4y,-x+2y)+(-y,y)
T(x,y)=(2x-5y,-x+3y)\)

Agora podemos calcular o que se pede:
\(T(7,-1)=(2(7)-5(-1),-(7)+3(-1))=(14+5,-7-3)=(19,-10)\)

2)
Usando o mesmo processo chegará em:
\(T(x,y)=(x-2y,x-4y)\)

Calculando o que se pede:
\(T(2,3)=(2-2(3),2-4(3))=(2-6,2-12)=(-4,-10)\)

Espero ter ajudado!