Vetores na mesma reta por escalonamento

[PRADO]

Suponha que v1, v2 e v3 são vetores em R³ com os pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os três vetores estão numa mesma reta.
v1= (-1,2,3), v2=(2,-4,-6), v3=(-3,6,0)

Gab: não estão numa mesma reta

Não estou conseguindo chegar a essa conclusão e tenho que usar o método do escalonamento.

[Estanislau]

O posto de um sistema de vetores é a dimenção do subespaço gerado pelo sistema. Portanto, é preciso verificar se o posto desse sistema é 1 ou 0. Sabendo os coordenadas dos vetores numa base, pode-se calcular o posto como o posto da matriz, cujos colunas são as coordenadas.

Para calcular o posto de uma matriz, basta saber duas coisas. Primeiro, no caso de uma matriz escalonada, o posto é igual ao número das linhas não nulas. Segundo, as transformações elementares das linhas e das colunas de uma matriz não mudam o posto. Portanto, para calcular o posto de uma matriz qualquer, basta transformá-la numa matriz escalonada usando as transformações elementares.

[PRADO]

O que seria esse posto ? não ouvi falar sobre isso ..
no caso eu fiz o escalonamento com esses três vetores ficando \(\begin{bmatrix} -1 & 2&-3 \\ 2& -4& 6\\ 3& -6& 0 \end{bmatrix}\) e depois usei as transformações elementares, se o que estou fazendo estiver certo, queria saber como posso afirma que eles não estão na mesma reta.

[Estanislau]

O posto de uma matriz é a dimenção do subespaço gerado pelas colunas da matriz.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Posto_matricial
Isso é, é exatamente o que é preciso: se a dimensão for 1, os vetores estão na mesma reta. Se a dimensão for 0 (não o é, mas teoreticamente), todos os vetores são zeros e consequentemente, estão na mesma reta. Então, e preciso formar uma matriz, cujus colunas são esses vetores e calcular o posto como escrevi acima.

De facto, não é absolutamente necessário que os vetores sejam as colunas da matriz. Podiam ser linhas também, o posto era o mesmo. Mas em álgebra linear os vetores são normalmente encarados como colunas, quando se usa o formalismo matricial. Vale a pena seguir esta convenção.

Está a perceber ou não?

[PRADO]

Procurei esse conceito em algumas fontes e entendi mais ou menos, então nesse caso o posto é 2 e por isso eles não estão na mesma reta ?

[Estanislau]

Exatamente. Como o rank é 2, os vetores geram um plano.